Question

若A，B，C是△ABC的三個(gè)內(nèi)角，，．求cosA的值．

Answer 1

【答案】分析：由，，利用同角三角函數(shù)間的基本關(guān)系分別求出sinB和cosC的值，得到cosC的值有兩解，假如cosC的解為負(fù)數(shù)得到C為鈍角，則B和π-C為銳角，然后根據(jù)sinB和sin（π-C）的值，利用正弦函數(shù)的單調(diào)性得到B大于π-C，即B+C大于π，與三角形的內(nèi)角和定理矛盾，所以假設(shè)錯(cuò)誤，cosC只能等于正值，把所求的式子cosA利用誘導(dǎo)公式化簡(jiǎn)后，得到cosA等于-cos（B+C），然后利用兩角和的余弦函數(shù)公式化簡(jiǎn)后，將各自的值代入即可求出原式的值．
解答：解：∵cosB=，∴sinB=，
又sinC=，cosC=±，
若cosC=-，則角C是鈍角，角B為銳角，π-C為銳角，而sin（π-C）=，
sinB=，于是 sin（π-C）＜sinB，
∴B＞π-C，B+C＞π，矛盾，
∴cosC≠-，cosC=，
∵A+B+C=π
∴cosA=-cos（B+C）
=-（cosBcosC-sinBsinC）=-（×-×）=．
點(diǎn)評(píng)：此題考查學(xué)生靈活運(yùn)用同角三角函數(shù)間的基本關(guān)系、誘導(dǎo)公式及兩角和的余弦函數(shù)公式化簡(jiǎn)求值，是一道綜合題．