Question

已知圖形OAPBCD是由不等式組

0≤x≤e2 0≤y≤e y≥lnx

，圍成的圖形，其中曲線段APB的方程為y=lnx（1≤x≤e²），P為曲線上的任一點(diǎn)．
（1）證明：直線OC與曲線段相切；
（2）若過(guò)P點(diǎn)作曲線的切線交圖形的邊界于M，N，求圖形被切線所截得的左上部分的面積的最小值．

Answer 1

分析：（1）設(shè)點(diǎn)O，C，P的坐標(biāo)，利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義得到在點(diǎn)P處的切線的斜率，得到切線方程，根據(jù)切線方程過(guò)點(diǎn)O，可得切線方程，點(diǎn)C坐標(biāo)滿足切線方程，故點(diǎn)C在切線上，故可證得結(jié)論；
（2）根據(jù)（1）的結(jié)論，可得過(guò)點(diǎn)P的切線方程，根據(jù)點(diǎn)P橫坐標(biāo)的取值范圍進(jìn)行分類討論，當(dāng)1≤x₀≤e時(shí)，切線交OA于點(diǎn)M，交CD于點(diǎn)N，可求得M，N的坐標(biāo)，表示出圖形被切線所截得的左上部分的面積S的表達(dá)式，利用導(dǎo)數(shù)即可求得最小值，當(dāng)e≤x₀≤e²時(shí)，切線交OD于點(diǎn)M，交BC于點(diǎn)N，可求得M，N的坐標(biāo)，表示出圖形被切線所截得的左上部分的面積S的表達(dá)式，利用導(dǎo)數(shù)即可求得最小值，最后比較兩種情況中的最小值，即可確定答案．

解答：解：（1）∵曲線段APB的方程為y=lnx（1≤x≤e²），P為曲線上的任一點(diǎn)，
又圖形OAPBCD是由不等式組

0≤x≤e2 0≤y≤e y≥lnx

圍成的圖形，
∴設(shè)O（0，0），C（e²，e），P（x₀，lnx₀），
∵y′=

1

x

，
∴過(guò)點(diǎn)P的切線的斜率k=

1

x0

，
∴切線方程為：y-lnx₀=

1

x0

（x-x₀），即y=

1

x0

x+lnx₀-1，①
若①式過(guò)點(diǎn)O，則由0=lnx₀-1，解得x₀=e，
∴切線方程為y=

x

e

，
又點(diǎn)C（e²，e）滿足切線方程，
∴切線方程過(guò)點(diǎn)C，
∴直線OC與曲線相切
（2）由（1）可知，過(guò)點(diǎn)P的切線方程為y=

1

x0

x+lnx₀-1，
①當(dāng)1≤x₀≤e時(shí)，切線交OA于點(diǎn)M，交CD于點(diǎn)N，
∵y=

1

x0

x+lnx₀-1，
∴令y=0，解得x=x₀（1-lnx₀），
令y=e，解得x=x₀（e+1-lnx₀），
∴M（x₀（1-lnx₀），0），N（x₀（e+1-lnx₀），e），
∴圖形被切線所截得的左上部分的面積S=

x0(1-lnx0)+x0(e+1-lnx0)

2

×e=ex0(

e

2

+1-lnx0)，
∴S′=e(

e

2

-lnx0)＞0，
∴S在[1，e]上單調(diào)遞增，
∴當(dāng)x₀=1時(shí)，S取得最小值為e×1×（

e

2

+1-ln1）=

e(e+2)

2

，
∴圖形被切線所截得的左上部分的面積S的最小值為

e(e+2)

2

；
②當(dāng)e≤x₀≤e²時(shí)，切線交OD于點(diǎn)M，交BC于點(diǎn)N，
∵y=

1

x0

x+lnx₀-1，
∴令x=0，解得y=lnx₀-1，
令x=e²，解得y=

e2

x0

+lnx0-1，
∴M（0，lnx₀-1），N（e²，

e2

x0

+lnx0-1），
∴圖形被切線所截得的左上部分的面積S=

e-(lnx0-1)+e-( e2 x0 +lnx0-1)

2

×e2=

e2

2

(2e-2lnx0-

e2

x0

+2)，
∴S′=

e2

2

(

e2

x0

-

2

x0

)=

e2

2

(

e2-2x0

x02

)，
令S′=0，解得x₀=

e2

2

，
當(dāng)e≤x₀≤

e2

2

時(shí)，S′＞0，當(dāng)

e2

2

＜x₀≤e²時(shí)，S′＜0，
∴S在[e，

e2

2

]上為單調(diào)遞增函數(shù)，在（

e2

2

，e²）上為單調(diào)遞減函數(shù)，
∵當(dāng)x₀=e時(shí)，S=

e2

2

×(2e-2-e+2)=

e3

2

，
當(dāng)x₀=e²時(shí)，S=

e2

2

×(2e-4-1+2)=

e2(2e-3)

2

，
∵

e3

2

＞

e2(2e-3)

2

，
∴S的最小值為

e2(2e-3)

2

，
∴圖形被切線所截得的左上部分的面積S的最小值為

e2(2e-3)

2

．
綜合①②，由于

e2(2e-3)

2

＞

e(e+2)

2

，
∴當(dāng)x₀=1時(shí)，S的最小值為

e(e+2)

2

，
故圖形被切線所截得的左上部分的面積的最小值為

e(e+2)

2

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點(diǎn)處的切線方程，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的最值問(wèn)題．導(dǎo)數(shù)的幾何意義即在某點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)即該點(diǎn)處切線的斜率，解題時(shí)要注意運(yùn)用切點(diǎn)在曲線上和切點(diǎn)在切線上．利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)在閉區(qū)間上的最值，一般是求出導(dǎo)函數(shù)對(duì)應(yīng)方程的根，然后求出跟對(duì)應(yīng)的函數(shù)值，區(qū)間端點(diǎn)的函數(shù)值，然后比較大小即可得到函數(shù)在閉區(qū)間上的最值．屬于中檔題．