Question

（本小題滿分12分）

已知函數(shù)在其定義域上滿足．

（1）函數(shù)的圖象是否是中心對(duì)稱圖形？若是，請(qǐng)指出其對(duì)稱中心（不證明）；

（2）當(dāng)時(shí)，求x的取值范圍；

（3）若，數(shù)列滿足，那么：

①若，正整數(shù)N滿足時(shí)，對(duì)所有適合上述條件的數(shù)列，恒成立，求最小的N；

②若，求證：．

 

Answer 1

【答案】

解：（1）依題意有．若，則，得，這與矛盾，∴，∴，故的圖象是中心對(duì)稱圖形，其對(duì)稱中心為點(diǎn)．………（3分）

（2）∵，∴即又∵，∴

得．………（6分）

（3）① 由得，∴．由得，

即．令，則，又∵，∴，∴．

∵，∴，∴當(dāng)時(shí)，．

【或∵，∴】

又∵也符合，∴，即，得．要使恒成立，只需，即，∴．故滿足題設(shè)要求的最小正整數(shù) 

② 由①知，∴，

，∴當(dāng)時(shí)，不等式成立．

證法1：∵，∴當(dāng)時(shí)，

．………（12分）

證法2：∵，∴當(dāng)時(shí)，

．………（12分）

證法3：∵，∴當(dāng)時(shí)，

（12分）

證法4：當(dāng)時(shí)，∵，∴

，∴

．………（12分）

證法5：∵，

∴當(dāng)時(shí)，．

綜上，對(duì)任意的，都有．………（12分）

【解析】略