Question

13．方程sinx+$\sqrt{3}$cosx+a=0在（0，π）內(nèi)有兩個不同的解α、β，求：
（1）a的范圍；
（2）α+β的值．

Answer 1

分析 （1）把原方程轉(zhuǎn)化為a=-（sinx+$\sqrt{3}$cosx），利用兩角和公式化簡整理，根據(jù)正弦函數(shù)的圖象來解決．
（2）根據(jù)函數(shù)圖象的對稱性來解決．

解答 解：
（1）∵sinx+$\sqrt{3}$cosx+a=0，
∴a=-（sinx+$\sqrt{3}$cosx）=-$\sqrt{2}$sin（x+$\frac{π}{4}$），
如圖a在區(qū)間（-$\sqrt{2}$，-1]有兩個解，
故a的范圍為（-$\sqrt{2}$，-1]．
（2）根據(jù)正弦函數(shù)的對稱性可知，x=$\frac{α+β}{2}$正好落在函數(shù)圖象的一個對稱軸上，根據(jù)圖象可知，此時對稱軸方程為x=$\frac{π}{4}$，
∴$\frac{α+β}{2}$=$\frac{π}{4}$，
α+β=$\frac{π}{2}$．

點評 本題主要考查了三角函數(shù)圖象與性質(zhì)．解題過程中運用了數(shù)形結(jié)合思想，是解決三角形問題的常用方法．