Question

如圖，已知圓上的弧

AC

=

BD

，過(guò)C點(diǎn)的圓的切線與BA的延長(zhǎng)線交于E點(diǎn)，證明：
（1）∠ACE=∠BCD；
（2）

BC2

EC2

=

CD

EA

．

Answer 1

考點(diǎn)：與圓有關(guān)的比例線段

專題：選作題,立體幾何

分析：（1）先根據(jù)題中條件：“

AC

=

BD

，”，得∠BCD=∠ABC．再根據(jù)EC是圓的切線，得到∠ACE=∠ABC，從而即可得出結(jié)論．
（II）證明△BDC～△ECB，可得BC²=BE×CD．由切割線定理可得EC²=EA×EB，兩式相除可得結(jié)論．

解答： 解：（1）因?yàn)?span id="ms6ehq7" class="MathJye">

AC

=

BD

，所以∠BCD=∠ABC．
又因?yàn)镋C與圓相切于點(diǎn)C，
故∠ACE=∠ABC
所以∠ACE=∠BCD．（5分）
（2）因?yàn)椤螮CB=∠CDB，∠EBC=∠BCD，
所以△BDC～△ECB，
故

BC

BE

=

CD

BC

．
即BC²=BE×CD．
由切割線定理可得EC²=EA×EB，
兩式相除可得

BC2

EC2

=

CD

EA

．（10分）

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查圓的切線的判定定理的證明、弦切角的應(yīng)用、三角形相似等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)化歸與轉(zhuǎn)化思想．屬于基礎(chǔ)題．