Question

是否存在一個(gè)實(shí)數(shù)k，使方程8x²+6kx+2k+1=0的兩個(gè)根是一個(gè)直角三角形的兩個(gè)銳角的正弦？

Answer 1

分析：設(shè)直角三角形兩個(gè)銳角為α，β，根據(jù)sinα，sinβ是方程的兩個(gè)根據(jù)，根據(jù)韋達(dá)定理可知兩根之和與兩根之積，根據(jù)同角三角函數(shù)基本關(guān)系整理得9k²-8k-20=0，求得k的值，把k=2代入原方程求得判別式小于0，排除；把k═-

10

9

代入方程兩根的積，結(jié)果小于不符合題意也排除，進(jìn)而推斷出k的值不存在．

解答：解：設(shè)直角三角形兩個(gè)銳角為α，β，則sinα，sinβ是方程8x²+6kx+2k+1=0的兩個(gè)根．
∵α+β=90°，∴sinβ=cosα
根與系數(shù)的關(guān)系，得

sinα+cosα=- 3k 4 ① sinαcosα= 2k+1 8 ②

①²-2×②得9k²-8k-20=0
∴k₁=2，k₂=-

10

9

當(dāng)k=2時(shí)變?yōu)?x²+12x+5=0，
△=144-160＜0
∴k=2舍去．
將k=-

10

9

代入②，得sinα•cosα=sinα•sinβ=-

11

72

，
∴sinα，sinβ異號(hào)，應(yīng)有sinα＜0或sinβ＜0，實(shí)際上sinα＞0，sinβ＞0，
∴k=-

10

9

不滿足題意，
∴k值不存在．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了同角三角函數(shù)基本關(guān)系的應(yīng)用，和數(shù)學(xué)方程思想．考查了學(xué)生綜合分析問(wèn)題的能力．