Question

【題目】已知函數(shù)f（x）=x3+ax2﹣a2x+3．
（1）若a=2，求f（x）在[﹣1，2]上的最值；
（2）若f（x）在（﹣ ，1）上是減函數(shù)，求a的取值范圍．

Answer 1

【答案】
（1）解：當(dāng)a=2時(shí)，f（x）=x3+2x2﹣4x+3，

∴f′（x）=3x2+4x﹣4，

令f′（x）=0，得 x=﹣2 或 x= ．

∵﹣2[﹣1，2]，

∴f（x）在[﹣1，2]上的最值只可能在f（﹣1），f（ ），f（2）取得，

而f（﹣1）=8，f（ ）= ，f（2）=11，

∴f（x）max=f（2）=11，f（x）min=f（ ）= ．

（2）解：f′（x）=（3x﹣a）（x+a），

①當(dāng)a＞0時(shí)，由f′（x）＜0，得﹣a＜x＜ ，

所以f（x）在（﹣a， ）上單調(diào)遞減，

則必有 ，∴a≥3，

②當(dāng)a＜0時(shí)，由f′（x）＜0，得 ＜x＜﹣a，

所以f（x）在（ ，﹣a）上單調(diào)遞減，

必有 ，∴a≤﹣ ，

③當(dāng)a=0時(shí)，函數(shù)f（x）在R上是單調(diào)遞增函數(shù)，不滿足f（x）在（﹣ ，1）上是減函數(shù)，

∴綜上，所求 a 的取值范圍為（﹣∞， ]∪[3，+∞）

【解析】（1）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，解關(guān)于函數(shù)的不等式，求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，求出函數(shù)的最值即可；（2）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，通過討論a的范圍，得到關(guān)于a的不等式，求出a的范圍即可．
【考點(diǎn)精析】解答此題的關(guān)鍵在于理解利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性的相關(guān)知識(shí)，掌握一般的,函數(shù)的單調(diào)性與其導(dǎo)數(shù)的正負(fù)有如下關(guān)系： 在某個(gè)區(qū)間內(nèi)，(1)如果，那么函數(shù)在這個(gè)區(qū)間單調(diào)遞增；(2)如果，那么函數(shù)在這個(gè)區(qū)間單調(diào)遞減，以及對(duì)函數(shù)的最大(小)值與導(dǎo)數(shù)的理解，了解求函數(shù)在上的最大值與最小值的步驟：（1）求函數(shù)在內(nèi)的極值；（2）將函數(shù)的各極值與端點(diǎn)處的函數(shù)值，比較，其中最大的是一個(gè)最大值，最小的是最小值．