Question

已知函數(shù)f(x)=

1

x

+lnx-1，g（x）=（lnx-1）e^x+x（其中e為自然對數(shù)的底數(shù)）．
（Ⅰ）求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（Ⅱ）是否存在實(shí)數(shù)x₀∈（0，+∞），使曲線y=g（x）在點(diǎn)x=x₀處的切線與y軸垂直？若存在，求出x₀的值；若不存在，請說明理由；
（Ⅲ）若實(shí)數(shù)m，n滿足m＞0，n＞0，求證：nⁿe^m≥mⁿeⁿ．

Answer 1

考點(diǎn)：導(dǎo)數(shù)在最大值、最小值問題中的應(yīng)用

專題：綜合題,導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：（Ⅰ）求導(dǎo)函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)的正負(fù)，即可得到函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（Ⅱ）由g（x）=（lnx-1）e^x+x，x∈（0，+∞），求導(dǎo)函數(shù)，由（Ⅰ）知，f（x）_min=f（1）=0，由此能導(dǎo)出不存在實(shí)數(shù)x₀∈（0，+∞），使曲線y=g（x）在點(diǎn)x=x₀處的切線與y軸垂直．
（Ⅲ）由（Ⅱ）知：f(x)=

1

x

+lnx-1≥0，x＞0，由m＞0，n＞0，可得f(

n

m

)≥0，由此能夠證明nⁿe^m≥mⁿeⁿ．

解答： （Ⅰ）解：∵f(x)=

1

x

+lnx-1，x∈（0，+∞），
∴f′(x)=-

1

x2

+

1

x

=

x-1

x2

…（1分）
令f′（x）＞0得x＞1，令f′（x）＜0得0＜x＜1…（2分）
∴f（x）的增區(qū)間為（1，+∞），減區(qū)間為（0，1）…（3分）
（Ⅱ）解：∵g（x）=（lnx-1）e^x+x，x∈（0，+∞），
∴g′（x）=（lnx-1）′e^x+（lnx-1）（e^x）′+1=（

1

x

-lnx-1）e^x+1，…（5分）
由（Ⅰ）易知，f（x）_min=f（1）=0，
∴當(dāng)x₀∈（0，+∞）時，

1

x0

+lnx0-1≥0 …（6分）
又ex0＞0，∴g′（x₀）≥1＞0 …（7分）
曲線y=g（x）在點(diǎn)x=x₀處的切線與y軸垂直等價于方程g′（x₀）=0有實(shí)數(shù)解．
而g′（x₀）＞0，即方程g′（x₀）=0無實(shí)數(shù)解．…（8分）
故不存在實(shí)數(shù)x₀∈（0，+∞），使曲線y=g（x）在點(diǎn)x=x₀處的切線與y軸垂直．…（9分）
（Ⅲ）證明：由（Ⅰ）得：f(x)=

1

x

+lnx-1≥0，x＞0（當(dāng)且僅當(dāng)x=1是等號成立） …（10分）
∵m＞0，n＞0，
∴f(

n

m

)≥0…（12分）
∴

m

n

+ln

n

m

-1≥0?ln

n

m

≥

n-m

n

?nln

n

m

≥n-m?(

n

m

)n≥en-m
整理得：nⁿe^m≥mⁿeⁿ…（14分）

點(diǎn)評：本題考查函數(shù)單調(diào)性的判斷，考查實(shí)數(shù)是否存在的判斷，考查不等式的證明，考查運(yùn)算求解能力，推理論證能力；考查化歸與轉(zhuǎn)化思想．綜合性強(qiáng)，難度大．