Question

14、（1）求多項(xiàng)式（3x⁴-x³-2x-3）¹⁰²•（3x-5）⁴•（7x³-5x-1）⁶⁷展開式各項(xiàng)系數(shù)和．
（2）多項(xiàng)式x¹⁰⁰⁰-x•（-x³-2x²+2）¹⁰⁰⁰展開式中x的偶次冪各項(xiàng)系數(shù)和與x奇次冪各項(xiàng)系數(shù)和各是多少？

Answer 1

分析：（1）利用賦值法：令多項(xiàng)式中的x=1得各項(xiàng)系數(shù)和，
（2）利用賦值法：令多項(xiàng)式中的x分別取1，-1得兩個(gè)等式，兩等式相加、相減得展開式中x的偶次冪各項(xiàng)系數(shù)和與x奇次冪各項(xiàng)系數(shù)和．

解答：解：（1）設(shè)f（x）=（3x⁴-x³-2x-3）¹⁰²•（3x-5）⁴•（7x³-5x-1）⁶⁷
=a₀+a₁x+a₂x²++a_nxⁿ（n∈N），
其各項(xiàng)系數(shù)和為a₀+a₁+a₂++a_n．
又∵f（1）=a₀+a₁+a₂++a_n=
（3-1-2-3）¹⁰²•（3-5）⁴•（7-5-1）⁶⁷=16•3¹⁰²，
∴各項(xiàng)系數(shù)和為16•3¹⁰²．
（2）設(shè)f（x）=x¹⁰⁰⁰-x•（-x³-2x²+2）¹⁰⁰⁰
=a₀+a₁x++a₃₀₀₁x³⁰⁰¹，
∴f（1）=a₀+a₁+a₂++a₃₀₀₁=0，
f（-1）=a₀-a₁+a₂--a₃₀₀₁=2，
故a₁+a₃++a₃₀₀₁=-1，
a₀+a₂++a₃₀₀₀=1，
∴f（x）展開式中x的偶次冪各項(xiàng)系數(shù)和為1，x奇次冪各項(xiàng)系數(shù)和為-1．

點(diǎn)評(píng)：本題考查賦值法是求多項(xiàng)式展開式的系數(shù)和的方法．