在正方體ABCD-A1B1C1D1中,O是底面ABCD的中心,M、N分別是棱DD1、D1C1的中點(diǎn),則直線OM( )

A.和AC、MN都垂直
B.垂直于AC,但不垂直于MN
C.垂直于MN,但不垂直于AC
D.與AC、MN都不垂直
【答案】分析:此題的條件使得建立空間坐標(biāo)系方便,且選項中研究的位置關(guān)系也適合用空間向量來證明其垂直關(guān)系,故應(yīng)先建立坐標(biāo)系,設(shè)出邊長,據(jù)幾何特征,給出各點(diǎn)的坐標(biāo),驗證向量內(nèi)積是否為零.
解答:解:以DA、DC、DD1所在的直線為x軸、y軸、z軸建立空間直角坐標(biāo)系.設(shè)正方體的棱長為2a,則D(0,0,0)、D1(0,0,2a)、M(0,0,a)、A(2a,0,0)、C(0,2a,0)、O(a,a,0)、N(0,a,2a).
=(-a,-a,a),=(0,a,a),=(-2a,2a,0).
=0,=0,
∴OM⊥AC,OM⊥MN.
故選A.
點(diǎn)評:考查用空間向量的方法來判斷線線垂直,本題的方法是空間向量應(yīng)用于立體幾何中的主要方式,可以看到用向量法解決本題,大大降低了思維的難度.
練習(xí)冊系列答案
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

16、在正方體ABCD-A′B′C′D′中,過對角線BD′的一個平面交AA′于E,交CC′于F,則
①四邊形BFD′E一定是平行四邊形;
②四邊形BFD′E有可能是正方形;
③四邊形BFD′E在底面ABCD內(nèi)的投影一定是正方形;
④平面BFD′E有可能垂直于平面BB′D.
以上結(jié)論正確的為
①③④
.(寫出所有正確結(jié)論的編號)

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

如圖,在正方體ABCD-A′B′C′D′中,E為D′C′的中點(diǎn),則二面角E-AB-C的大小為
45°
45°

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

如圖,在正方體ABCD-A′B′C′D′中,E,F(xiàn)分別是AB′,BC′的中點(diǎn). 
(1)若M為BB′的中點(diǎn),證明:平面EMF∥平面ABCD.
(2)求異面直線EF與AD′所成的角.

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如圖在正方體ABCD-A  1B1C1D1中,O是底面ABCD的中心,B1H⊥D1O,H為垂足,則B1H與平面AD1C的位置關(guān)系是( 。

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

在正方體ABCD-A′B′C′D′中,過對角線BD′的一個平面交棱AA′于E,交棱CC′于F,則:
①四邊形BFD′E一定是平行四邊形;
②四邊形BFD′E有可能是正方形;
③四邊形BFD′E有可能是菱形;
④四邊形BFD′E有可能垂直于平面BB′D.
其中所有正確結(jié)論的序號是
 

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