Question

（2011•上海模擬）在平面直角坐標(biāo)系中，已知焦距為4的橢圓C：

x2

a2

+

y2

b2

=1  (a＞b＞0)的左、右頂點(diǎn)分別為A、B，橢圓C的右焦點(diǎn)為F，過F作一條垂直于x軸的直線與橢圓相交于R、S，若線段RS的長為

10

3

．
（1）求橢圓C的方程；
（2）若橢圓C上存在兩個(gè)不同的點(diǎn)關(guān)于直線l：y=9x+m對(duì)稱，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．
（3）若P為橢圓C在第一象限的動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)P作圓x²+y²=5的兩條切線PA、PB，切點(diǎn)為A、B，直線AB與x軸、y軸分別交于點(diǎn)M、N，求△MON（O為坐標(biāo)原點(diǎn)）面積的最小值．

Answer 1

分析：（1）由題意得，c=2，故a²-b²=4，又橢圓過點(diǎn)（2，

5

3

），代入橢圓方程，列方程求解a，b即可求橢圓C的方程；
（2）設(shè)D、E是橢圓C上關(guān)于l：y=9x+m對(duì)稱的點(diǎn)，設(shè)直線DE的方程為y=-

1

9

x+n；聯(lián)立直線DE的方程與橢圓方程，根據(jù)判別式大于0求出n的范圍；再結(jié)合D，E的中點(diǎn)在直線l上得到m和n的關(guān)系，即可求實(shí)數(shù)m的取值范圍；
（3）設(shè)出P，A，B的坐標(biāo)．得到直線PA與直線PB的方程，進(jìn)而得到直線AB的方程，求出點(diǎn)M、N的坐標(biāo)，表示出△MON的面積；再結(jié)合P為橢圓C在第一象限的動(dòng)點(diǎn)即可求出面積的最小值．

解答：解：（1）依題意，橢圓過點(diǎn)( 2 ， 

5

3

 )，故

4 a2 + 25 9b2 =1 a2-b2=4

，解得

a2=9 b2=5

．…（3分）
橢圓C的方程為

x2

9

+

y2

5

=1．…（4分）
（2）設(shè)D、E是橢圓C上關(guān)于l：y=9x+m對(duì)稱的點(diǎn)，設(shè)直線DE的方程為y=-

1

9

x+n．
聯(lián)系方程得：

y=- 1 9 x+n x2 9 + y2 5 =1

⇒

46

405

x2-

2n

45

x+

1

5

n2-1=0，由△＞0得n2＜

46

9

又DE的中點(diǎn)G(

9n

46

，

45n

46

)在直線l上，代入得

45n

46

=9•

9n

46

+m⇒n=-

23

18

m，
代入△得-

6 46

23

＜m＜

6 46

23

．
（3）設(shè)P（x₀，y₀），A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）
則直線PA：x₁x+y₁y=5，直線PB：x₂x+y₂y=5
所以，直線AB：x₀x+y₀y=5，故M(

5

y0

，0)，N(0，

5

x0

)，所以S=

25

2x0y0

，
而1=

x 2 0

9

+

y 2 0

5

≥2•

x0y 0

3 5

⇒x0y0≤

3 5

2

，當(dāng)且僅當(dāng)x0=

3 2

2

，y0=

10

2

時(shí)等號(hào)成立．
此時(shí)Smin=

5 5

3

．

點(diǎn)評(píng)：本題綜合考查橢圓的性質(zhì)及其應(yīng)用、直線與橢圓的位置關(guān)系及直線，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意運(yùn)用方程思想等數(shù)學(xué)思想，同時(shí)考查了學(xué)生的基本運(yùn)算能力、運(yùn)算技巧、邏輯推理能力，難度較大．