Question

已知（x₀，y₀）是直線x+y=2k-1與圓x²+y²=k²+2k-3的交點(diǎn)，則x₀y₀的取值范圍為[

11-6 2

4

，

11+6 2

4

]．

Answer 1

分析：先根據(jù)直線與圓相交，圓心到直線的距離小于等于半徑，以及圓半徑為正數(shù)，求出k的范圍，再根據(jù)（x₀，y₀）是直線x+y=2k-1與圓x²+y²=k²+2k-3的交點(diǎn)，滿足直線與圓方程，代入直線與圓方程，化簡，求出用k表示的x₀y₀的式子，根據(jù)k的范圍求x₀y₀的取值范圍．

解答：解：∵直線x+y=2k-1與圓x²+y²=k²+2k-3
∴圓心（0.0）到直線的距離d=

|1-2k|

2

≤

k2+2k-3

解得

4- 2

2

≤k≤

4+ 2

2

又∵圓x²+y²=k²+2k-3，∴k²+2k-3＞0
解得，k＜-3，或k＞1
∴k的取值范圍為

4- 2

2

≤k≤

4+ 2

2

∵（x₀，y₀）是直線x+y=2k-1與圓x²+y²=k²+2k-3的交點(diǎn)，
∴x₀+y₀=2k-1，①x₀²+y₀²=k²+2k-3②
①²-②，得，2x₀y₀=3k²-6k+4
當(dāng)

4- 2

2

≤k≤

4+ 2

2

時(shí)，2x₀y₀=3k²-6k+4是k的增函數(shù)
∴當(dāng)k=

4- 2

2

，x₀y₀有最小值為

11-6 2

4

當(dāng)k=

4+ 2

2

，x₀y₀有最大值為

11+6 2

4

∴x₀y₀的取值范圍為[

11-6 2

4

，

11+6 2

4

]
故答案為：[

11-6 2

4

，

11+6 2

4

]

點(diǎn)評：本題主要考察了直線與圓相交位置關(guān)系的判斷，做題時(shí)考慮要全面，不要丟情況．