Question

已知數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為S_n，且滿足a_n+S_n=2．
（1）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（2）求證數(shù)列{a_n}中不存在任意三項(xiàng)按原來順序成等差數(shù)列；
（3）若從數(shù)列{a_n}中依次抽取一個(gè)無限多項(xiàng)的等比數(shù)列，使它的所有項(xiàng)和S滿足，這樣的等比數(shù)列有多少個(gè)？

Answer 1

【答案】分析：（1）利用已知前n項(xiàng)和求通項(xiàng)公式的方法求出a₁=1，即可得數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（2）用反證法．先假設(shè)存在三項(xiàng)按原來順序成等差數(shù)列，利用等差中項(xiàng)：x，A，y成等差數(shù)列?2A=x+y，推出矛盾即可．
（3）設(shè)抽取的等比數(shù)列首項(xiàng)為，公比為，項(xiàng)數(shù)為k，對其求和找到：．再利用m，n，k∈N，m≥0，n≥1，k≥1，找到對應(yīng)的m，n，k，即可求出對應(yīng)的等比數(shù)列．
解答：解：（1）當(dāng)n=1時(shí)，a₁+S₁=2a₁=2，則a₁=1．
又a_n+S_n=2，∴a_n+1+S_n+1=2，兩式相減得，
∴{a_n}是首項(xiàng)為1，公比為的等比數(shù)列，
∴（4分）
（2）反證法：假設(shè)存在三項(xiàng)按原來順序成等差數(shù)列，記為a_p+1，a_q+1，a_r+1（p＜q＜r）
則，∴2•2^r-q=2^r-p+1（*）
又∵p＜q＜r∴r-q，r-p∈N^*
∴*式左邊是偶數(shù)，右邊是奇數(shù)，等式不成立∴假設(shè)不成立原命題得證．（8分）

（3）設(shè)抽取的等比數(shù)列首項(xiàng)為，公比為，項(xiàng)數(shù)為k，
且滿足m，n，k∈N，m≥0，n≥1，k≥1，
則又∵∴
整理得：①
∵n≥1∴2^m-n≤2^m-1．
∴∴m≤4∵∴
∴m≥4∴m=4將m=4代入①式整理得∴n≤4
經(jīng)驗(yàn)證得n=1，2不滿足題意，n=3，4滿足題意．
綜上可得滿足題意的等比數(shù)列有兩個(gè)．（16分）
點(diǎn)評：本題是對等差數(shù)列和等比數(shù)列的綜合考查，是道綜合性很強(qiáng)的好題．其中第一問涉及到已知前n項(xiàng)和為S_n求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式．已知前n項(xiàng)和為S_n求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式，根據(jù)a_n和S_n的關(guān)系：a_n=S_n-S_n-1 （n≥2）求解數(shù)列的通項(xiàng)公式．另外，須注意公式成立的前提是n≥2，所以要驗(yàn)證n=1時(shí)通項(xiàng)是否成立，若成立則：a_n=S_n-S_n-1 （n≥2）；若不成立，則通項(xiàng)公式為分段函數(shù)．