【答案】
分析:(1)利用已知前n項(xiàng)和求通項(xiàng)公式的方法求出a
1=1,
即可得數(shù)列{a
n}的通項(xiàng)公式;
(2)用反證法.先假設(shè)存在三項(xiàng)按原來順序成等差數(shù)列,利用等差中項(xiàng):x,A,y成等差數(shù)列?2A=x+y,推出矛盾即可.
(3)設(shè)抽取的等比數(shù)列首項(xiàng)為
,公比為
,項(xiàng)數(shù)為k,對其求和找到:
.再利用m,n,k∈N,m≥0,n≥1,k≥1,找到對應(yīng)的m,n,k,即可求出對應(yīng)的等比數(shù)列.
解答:解:(1)當(dāng)n=1時(shí),a
1+S
1=2a
1=2,則a
1=1.
又a
n+S
n=2,∴a
n+1+S
n+1=2,兩式相減得
,
∴{a
n}是首項(xiàng)為1,公比為
的等比數(shù)列,
∴
(4分)
(2)反證法:假設(shè)存在三項(xiàng)按原來順序成等差數(shù)列,記為a
p+1,a
q+1,a
r+1(p<q<r)
則
,∴2•2
r-q=2
r-p+1(*)
又∵p<q<r∴r-q,r-p∈N
*
∴*式左邊是偶數(shù),右邊是奇數(shù),等式不成立∴假設(shè)不成立原命題得證.(8分)
(3)設(shè)抽取的等比數(shù)列首項(xiàng)為
,公比為
,項(xiàng)數(shù)為k,
且滿足m,n,k∈N,m≥0,n≥1,k≥1,
則
又∵
∴
整理得:
①
∵n≥1∴2
m-n≤2
m-1.
∴
∴m≤4∵
∴
∴m≥4∴m=4將m=4代入①式整理得
∴n≤4
經(jīng)驗(yàn)證得n=1,2不滿足題意,n=3,4滿足題意.
綜上可得滿足題意的等比數(shù)列有兩個(gè).(16分)
點(diǎn)評:本題是對等差數(shù)列和等比數(shù)列的綜合考查,是道綜合性很強(qiáng)的好題.其中第一問涉及到已知前n項(xiàng)和為S
n求數(shù)列{a
n}的通項(xiàng)公式.已知前n項(xiàng)和為S
n求數(shù)列{a
n}的通項(xiàng)公式,根據(jù)a
n和S
n的關(guān)系:a
n=S
n-S
n-1 (n≥2)求解數(shù)列的通項(xiàng)公式.另外,須注意公式成立的前提是n≥2,所以要驗(yàn)證n=1時(shí)通項(xiàng)是否成立,若成立則:a
n=S
n-S
n-1 (n≥2);若不成立,則通項(xiàng)公式為分段函數(shù).