Question

11．如圖，四邊形ABED是邊長為2的菱形，△CDE為正三角形，B，E，C三點共線，現(xiàn)將△ABD沿BD折起形成三棱錐A′-BCD．
（1）求證：A′E⊥BD；
（2）若平面A′BD⊥平面ABCD，求直線CD與平面A′BC所成角的正弦值．

Answer 1

分析 （1）利用菱形的幾何性質(zhì)得出A′O⊥BD，OE⊥BD，轉(zhuǎn)化為證明A′E⊥面A¹OE，
即可利用線面的垂直，直線的垂直求證．
（2）建立空間坐標系得出$\overrightarrow{DC}$=（2，0，0），$\overrightarrow{{A}^{′}B}$=（0，-$\sqrt{3}$，-$\sqrt{3}$），$\overrightarrow{{A}^{′}C}$=（2，$\sqrt{3}$，-$\sqrt{3}$），求解法向量得出$\overrightarrow{n}$=（-3，$\sqrt{3}$，$-\sqrt{3}$），
再利用向量的數(shù)量積得出空間即可．

解答 解：（1）取BD中點O，連接A′O，OE，
∵四邊形ABED是邊長為2的菱形，
∴A′O⊥BD，OE⊥BD，
∵A′O∩OE=O，
∴A′E⊥面A¹OE，
∵A′E?面A¹OE，
∴A′E⊥BD；
（2）（2）以O(shè)E，OD，OA′為x，y，z軸，
∵四邊形ABED是邊長為2的菱形，△CDE為正三角形，B，E，C三點共線，
∴D（0，$\sqrt{3}$，0），B（0，-$\sqrt{3}$，0），C（2，$\sqrt{3}$，0），A′（0，0，$\sqrt{3}$），
即$\overrightarrow{DC}$=（2，0，0），$\overrightarrow{{A}^{′}B}$=（0，-$\sqrt{3}$，-$\sqrt{3}$），$\overrightarrow{{A}^{′}C}$=（2，$\sqrt{3}$，-$\sqrt{3}$），
∵設(shè)$\overrightarrow{n}$=（x，y，z）為平面A′BC的法向量，
∴$\overrightarrow{{A}^{′}B}$•$\overrightarrow{n}$=0，$\overrightarrow{n}$$•\overrightarrow{{A}^{′}C}$=0，
所以得出$\left\{\begin{array}{l}{y+z=0}\\{2x+\sqrt{3}y-\sqrt{3}z=0}\end{array}\right.$
取x=-3，y=$\sqrt{3}$，z=$-\sqrt{3}$
$\overrightarrow{n}$=（-3，$\sqrt{3}$，$-\sqrt{3}$），
∵$\overrightarrow{n}$$•\overrightarrow{DC}$=-6，|$\overrightarrow{DC}$|=2，|$\overrightarrow{n}$|=$\sqrt{15}$，
∴cos＜$\overrightarrow{n}$，$\overrightarrow{DC}$＞=$-\frac{\sqrt{15}}{5}$，
∴直線CD與平面A′BC所成角的正弦值sinθ=$\frac{\sqrt{15}}{5}$，

點評 本題考查了空間直線平面所成的角，空間直線的位置關(guān)系 判斷垂直問題，化為立體為平面解決，利用空間坐標系求解空間較大問題．