在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知定點A(－4，0)、B(4，0)，動點P與A、B連線的斜率之積為－.

(1) 求點P的軌跡方程；

(2) 設(shè)點P的軌跡與y軸負(fù)半軸交于點C.半徑為r的圓M的圓心M在線段AC的垂直平分線上，且在y軸右側(cè)，圓M被y軸截得的弦長為r.

(ⅰ) 求圓M的方程；

(ⅱ) 當(dāng)r變化時，是否存在定直線l與動圓M均相切？如果存在，求出定直線l的方程；如果不存在，說明理由．


解：(1) 設(shè)P(x，y)，則直線PA、PB的斜率分別為k1＝、k2＝.

由題意知·＝－，即＋＝1(x≠±4)．

所以動點P的軌跡方程是＋＝1(x≠±4)．

 (2) (ⅰ)由題意C(0，－2)，A(－4，0)，

所以線段AC的垂直平分線方程為y＝2x＋3.

設(shè)M(a，2a＋3)(a＞0)，

則圓M的方程為(x－a)2＋(y－2a－3)2＝r2.

圓心M到y(tǒng)軸的距離d＝a，

由r2＝d2＋，得a＝.

所以圓M的方程為＋(y－r－3)2＝r2.

(ⅱ)假設(shè)存在定直線l與動圓M均相切．

當(dāng)定直線的斜率不存在時，不合題意．

設(shè)直線l：y＝kx＋b，

得r2＋(k－2)(b－3)r＋(b－3)2＝(1＋k2)r2.

所以

所以存在兩條直線y＝3和4x＋3y－9＝0與動圓M均相切．


練習(xí)冊系列答案
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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：


 cos＝________．

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已知雙曲線E的中心為原點，F(xiàn)(3，0)是E的焦點，過F的直線l與E相交于A、B兩點，且AB的中點為N(－12，－15)，則E的方程為____________．

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以雙曲線－＝1的中心為頂點，且以該雙曲線的右焦點為焦點的拋物線方程是__________．

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如圖，橢圓C0：＝1(a>b>0，a、b為常數(shù))，動圓C1：x2＋y2＝t，b<t1<a.點A1、A2分別為C0的左、右頂點，C1與C0相交于A、B、C、D四點．

(1) 求直線AA1與直線A2B交點M的軌跡方程；

(2) 設(shè)動圓C2：x2＋y2＝t與C0相交于A′，B′，C′，D′四點，其中b<t2<a，t1≠t2.若矩形ABCD與矩形A′B′C′D′的面積相等，證明：t＋t為定值．

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 已知橢圓E：＋y2＝1(a＞1)的上頂點為M(0，1)，兩條過M的動弦MA、MB滿足MA⊥MB.

(1) 當(dāng)坐標(biāo)原點到橢圓E的準(zhǔn)線距離最短時，求橢圓E的方程；

(2) 若Rt△MAB面積的最大值為，求a；

(3) 對于給定的實數(shù)a(a＞1)，動直線AB是否經(jīng)過一定點？如果經(jīng)過，求出定點坐標(biāo)(用a表示)；反之，說明理由．

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 已知拋物線的焦點坐標(biāo)是(0，－3)，則拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程是________．

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下圖是拋物線形拱橋，當(dāng)水面在l時，拱頂離水面2 m，水面寬4 m．水位下降1 m后，水面寬________ m.

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 如圖，已知橢圓＝1(a＞b＞0)的離心率為，且過點A(0，1)．

(1) 求橢圓的方程；

(2) 過點A作兩條互相垂直的直線分別交橢圓于點M、N，求證：直線MN恒過定點P.

 

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