Question

【題目】已知圓心在坐標(biāo)原點(diǎn)的圓O經(jīng)過(guò)圓與圓的交點(diǎn)，A、B是圓O與y軸的交點(diǎn)，P為直線(xiàn)y=4上的動(dòng)點(diǎn)，PA、PB與圓O的另一個(gè)交點(diǎn)分別為M、N.

(1)求圓O的方程；

(2)求證：直線(xiàn)MN過(guò)定點(diǎn).

Answer 1

【答案】（1）（2）證明見(jiàn)解析

【解析】

（1）聯(lián)立兩圓的方程，求解方程組即可得兩圓的交點(diǎn)坐標(biāo)為(2,0)和(0,2)，

又所求圓的圓心為坐標(biāo)原點(diǎn)，則可得圓的方程為，

（2）聯(lián)立直線(xiàn)與圓的方程，可得交點(diǎn)坐標(biāo)分別為，，

再由點(diǎn)斜式求直線(xiàn)方程為，即可得證.

(1)解：由解得：或，

即兩圓的交點(diǎn)坐標(biāo)為(2,0)和(0,2)，

又因?yàn)閳AO的圓心為坐標(biāo)原點(diǎn)，

所以圓O的方程為.

(2)證：不妨設(shè)A(0,2)、B(0,-2)、P(t,4)，

則直線(xiàn)PA的直線(xiàn)方程為，直線(xiàn)PB的直線(xiàn)方程為，

由得，同理可得，

直線(xiàn)MN的斜率為，

直線(xiàn)MN的的方程為：，

化簡(jiǎn)得：，

所以直線(xiàn)MN過(guò)定點(diǎn)(0,1).