Question

（第三、四層次學校的學生做次題）
已知二次函數(shù)h（x）=ax²+bx+c（c＞0），其導函數(shù)y=h′（x）的圖象如下，且f（x）=lnx-h（x）．
（1）求a，b的值；
（2）若函數(shù)f（x）在(

1

2

，m+

1

4

)上是單調遞減函數(shù)，求實數(shù)m的取值范圍；
（3）若函數(shù)y=2x-lnx（x∈[1，4]）的圖象總在函數(shù)y=f（x）的圖象的上方，求c的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）h′（x）=2ax+b，由圖象可知過A（2，-1）、B（0，3）兩點，從而得關于a，b的方程組，解出即可；
（2）求出函數(shù)f（x）的定義域，利用導數(shù)可求得函數(shù)的單調減區(qū)間，由題意知，區(qū)間(

1

2

，m+

1

4

)為函數(shù)f（x）減區(qū)間的子集，由此得不等式，注意區(qū)間端點間的大小關系；
（3）由題意可知，2x-lnx＞x²-3x-c+lnx在x∈[1，4]上恒成立，即當x∈[1，4]時，c＞x²-5x+2lnx恒成立，令g（x）=x²-5x+2lnx，x∈[1，4]，則問題可轉化為c＞g（x）_max，利用導數(shù)易求g（x）_max；

解答：解：（1）h′（x）=2ax+b，其圖象為直線，且過A（2，-1）、B（0，3）兩點，

4a+b=-1 b=3

，解得

a=-1 b=3

；
（2）由題意可知，f（x）的定義域為（0，+∞），
由（1）知，f（x）=lnx+x²-3x-c，f′（x）=2x-3+

1

x

=

2x2-3x+1

x

，
令f′（x）=0，得x=

1

2

或x=1，
當0＜x＜

1

2

或x＞1時，f′（x）＞0，f（x）單調遞增；當

1

2

＜x＜1時，f′（x）＜0，f（x）單調遞減；
所以f（x）的單調減區(qū)間為（

1

2

，1），
要使函數(shù)f（x）在區(qū)間(

1

2

，m+

1

4

)上是單調遞減函數(shù)，
則

1 2 ＜m+ 1 4 m+ 1 4 ≤1

，解得

1

4

＜m≤

3

4

，
故實數(shù)m的取值范圍是（

1

4

，

3

4

]；
（3）由題意可知，2x-lnx＞x²-3x-c+lnx在x∈[1，4]上恒成立，即當x∈[1，4]時，c＞x²-5x+2lnx恒成立，
設g（x）=x²-5x+2lnx，x∈[1，4]，則c＞g（x）_max，
易知g′（x）=2x-5+

2

x

=

2x2-5x+2

x

=

(2x-1)(x-2)

x

，
令g′（x）=0得，x=

1

2

或x=2，
當x∈（1，2）時，g′（x）＜0，g（x）單調遞減；當x∈（2，4）時，g′（x）＞0，函數(shù)g（x）單調遞增．
而g（1）=1-5×1+2ln1=-4，g（4）=4²-5×4+2ln4=-4+4ln2，
顯然，g（1）＜g（4），故函數(shù)g（x）在[1，4]上的最大值為g（4）=-4+4ln2，
故c＞-4+4ln2，
所以c的取值范圍為（-4+4ln2，+∞）．

點評：本題考查二次函數(shù)的性質、利用導數(shù)研究函數(shù)的單調性、最值，考查函數(shù)恒成立問題，考查轉化思想．