Question

求證：

1

2

+

1

4

+…+

1

2n

=1-

1

2n

（n是正整數(shù)）．

Answer 1

考點(diǎn)：數(shù)學(xué)歸納法

專題：證明題,推理和證明

分析：首先證明當(dāng)n=1時(shí)等式成立，再假設(shè)n=k時(shí)等式成立，得到等式

1

2

+

1

4

+…+

1

2k

=1-

1

2k

，下面證明當(dāng)n=k+1時(shí)等式左邊=

1

2

+

1

4

+…+

1

2k

+

1

2k+1

，根據(jù)前面的假設(shè)化簡即可得到結(jié)果，最后得到結(jié)論．

解答： 證明：（1）當(dāng)n=1時(shí)，左邊=

1

2

，右邊=

1

2

，
∴左邊=右邊
（2）假設(shè)n=k時(shí)等式成立，即

1

2

+

1

4

+…+

1

2k

=1-

1

2k

；
當(dāng)n=k+1時(shí)，等式左邊=

1

2

+

1

4

+…+

1

2k

+

1

2k+1

=1-

1

2k

+

1

2k+1

=1-

1

2k+1

這就是說，n=k+1時(shí)，等式成立．
綜上（1）（2）可知

1

2

+

1

4

+…+

1

2n

=1-

1

2n

（n是正整數(shù)）．．

點(diǎn)評：本題考查用數(shù)學(xué)歸納法證明等式成立，用數(shù)學(xué)歸納法證明問題的步驟是：第一步驗(yàn)證當(dāng)n=n₀時(shí)命題成立，第二步假設(shè)當(dāng)n=k時(shí)命題成立，那么再證明當(dāng)n=k+1時(shí)命題也成立．本題解題的關(guān)鍵是利用第二步假設(shè)中的結(jié)論證明當(dāng)n=k+1時(shí)成立，本題是一個中檔題目．