Question

13．在平面直角坐標(biāo)系xOy中，點(diǎn)A（0，3），直線l：2x-y-4=0，設(shè)圓C的半徑為1，圓心在直線l上．
（1）若圓心C也在直線2x-3y=0上，過點(diǎn)A作圓C的切線，求切線的方程；
（2）若圓C與圓D：x²+y²+2y-3=0有公共點(diǎn)，求圓心C的橫坐標(biāo)a的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）聯(lián)立直線l與直線y=x-1解析式，求出方程組的解得到圓心C坐標(biāo)，根據(jù)A坐標(biāo)設(shè)出切線的方程，由圓心到切線的距離等于圓的半徑，列出關(guān)于k的方程，求出方程的解得到k的值，確定出切線方程即可；
（2）求出圓D：x²+y²+2y-3=0的圓心與半徑，利用圓心距與半徑和與差的關(guān)系，列出不等式，即可求出圓心C的橫坐標(biāo)a的取值范圍．

解答 解：（1）聯(lián)立得：$\left\{\begin{array}{l}2x-y-4=0\\ 2x-3y=0\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}x=3\\ y=2\end{array}\right.$，
∴圓心C（3，2）．
若k不存在，不合題意；
若k存在，設(shè)切線為：y=kx+3，可得圓心到切線的距離d=r，即$\frac{|3k+3-2|}{\sqrt{1+{k}^{2}}}$=1，
解得：k=0或k=-$\frac{3}{4}$，
則所求切線為y=3或y=-$\frac{3}{4}$x+3；
（2）圓D：x²+y²+2y-3=0的圓心（0，-1），半徑為：2．
圓C的半徑為1，圓心在直線l：2x-y-4=0上，可得圓心（a，2a-4）．
圓C與圓D：x²+y²+2y-3=0有公共點(diǎn)，可得1≤$\sqrt{（a-0）^{2}+（2a-4+1）^{2}}≤3$，
解得0≤a≤$\frac{12}{5}$．
圓心C的橫坐標(biāo)a的取值范圍：[0，$\frac{12}{5}$]．

點(diǎn)評 此題考查了圓的切線方程，點(diǎn)到直線的距離公式，以及圓與圓的位置關(guān)系的判定，涉及的知識有：兩直線的交點(diǎn)坐標(biāo)，直線的點(diǎn)斜式方程，兩點(diǎn)間的距離公式，圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，是一道綜合性較強(qiáng)的試題．