設(shè)x∈(0，
π
2
)，則函數(shù)y=
1
cos2x
+
2
2
sinx
的最小值為
6
6
．
分析：利用sin2x+cos2x=1，構(gòu)造函數(shù)y=
1
cos2x
+
2
2
sinx
+4，然后配湊為
1
cos2x
+4cos2x，
2
sinx
+
2
sinx
+4sin2x
利用基本不等式，求出函數(shù)的最小值．
解答：解：
y=
1
cos2x
+
2
2
sinx
+4=
(
1
cos2x
+4cos2x)+(
2
sinx
+
2
sinx
+4sin2x)≥4+3
38
=10

取等號(hào)當(dāng)且僅當(dāng)
1
cos2x
=4cos2x
2
sinx
=4sin2x
，
∵x∈(0，
π
2
)，∴sinx=cosx=
2
2
，
即：x=
π
4
．
所以函數(shù)y=
1
cos2x
+
2
2
sinx
的最小值為：6．
故答案為：6．
點(diǎn)評(píng)：本題是中檔題，合理構(gòu)造函數(shù)利用基本不等式是解題的關(guān)鍵，注意等號(hào)成立的條件，滿足“正、定、等”的應(yīng)用．
練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

設(shè)x∈(0，
π
2
)，求函數(shù)y=
225
4sin2x
+
2
cosx
的最小值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知函數(shù)f（x）=asinx•cosx-
3
acos2x+
3
2
a+b（a＞0）
（1）寫(xiě)出函數(shù)的最小正周期和對(duì)稱軸；
（2）設(shè)x∈[0，
π
2
]，f（x）的最小值是-2，最大值是
3
，求實(shí)數(shù)a，b的值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知函數(shù)f（x）=2cos
x
2
(
3
cos
x
2
-sin
x
2
)．
（1）設(shè)x∈[0，
π
2
]，且f（x）=
3
+1，求x的值；
（2）在△ABC中，內(nèi)角A、B、C的對(duì)邊的邊長(zhǎng)為a、b、c，AB=1，f（C）=
3
+1，且△ABC的面積為
3
2
，求a+b的值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知函數(shù)f（x）=
3
asinxcosx-a（cosx）2+b（a＞0）
（1）求函數(shù)f（x）的最小正周期以及單調(diào)遞增區(qū)間；
（2）設(shè)x∈[0，
π
2
]，f（x）的最小值是-1，最大值是2，求實(shí)數(shù)a的值．

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