Question

已知數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和S_n滿足，設(shè)．
（I）求證：數(shù)列{c_n}是等差數(shù)列，并求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（II）按以下規(guī)律構(gòu)造數(shù)列{b_n}，具體方法如下：b₁=c₁，b₂=c₂+c₃，b₃=c₄+c₅+c₆+c₇，…第n項(xiàng)b_n由相應(yīng)的{c_n}中2^n-1項(xiàng)的和組成，求數(shù)列{b_n}的通項(xiàng)b_n．

Answer 1

【答案】分析：（I）由S_n+a_n+=2知，當(dāng)n=1時(shí)可求得a₁，當(dāng)n≥2時(shí)，可求得2ⁿa_n-2^n-1a_n-1=1，由c_n=2ⁿa_n，可得數(shù)列{c_n}是等差數(shù)列，從而可求得其通項(xiàng)公式；
（II）依題意，b_n=+++…+=2^n-1+（2^n-1+1）+（2^n-1+2）+…+（2ⁿ-1），利用等差數(shù)列的求和公式即可求得答案．
解答：解：（I）在S_n+a_n+=2①中，令n=1，
得：S₁+a₁+1=2，
∴a₁=．
當(dāng)n≥2時(shí)，S_n-1+a_n-1+=2，②
①-②得：2a_n-a_n-1-=0，（n≥2），…2
∴2a_n-a_n-1=，
∴2ⁿa_n-2^n-1a_n-1=1…3分
又c_n=2ⁿa_n，
∴c_n-c_n-1=1（n≥2），又c₁=2a₁=1，
∴數(shù)列{c_n}是等差數(shù)列，…4分
∴c_n=1+（n-1）×1=n，又c_n=2ⁿa_n，
∴a_n=…6分
（II）由題意得
b_n=+++…+…7分
=2^n-1+（2^n-1+1）+（2^n-1+2）+…+（2ⁿ-1）…8分
而2^n-1，2^n-1+1，2^n-1+2，…，2ⁿ-1是首項(xiàng)為2^n-1，公差為1的等差數(shù)列，
設(shè)數(shù)列共有2^n-1項(xiàng)，…9分，
所以，b_n=
=
=3×2^2n-3-2^n-2…12分
點(diǎn)評(píng)：本題考查數(shù)列的求和，著重考查等差數(shù)列的通項(xiàng)公式與求和公式，（II）中b_n=2^n-1+（2^n-1+1）+（2^n-1+2）+…+（2ⁿ-1）的確定是難點(diǎn)，考查觀察與推理分析的能力，屬于難題．