Question

對(duì)于函數(shù)f（x）=a-

2

2x+1

(a∈R)
（1）探索函數(shù)f（x）的單調(diào)性
（2）是否存在實(shí)數(shù)a使函數(shù)f（x）為奇函數(shù)，若存在，求出a的取值；若不存在，說(shuō)明理由？

Answer 1

分析：（1）設(shè)x₁＜x₂，化簡(jiǎn)計(jì)算f（x₁）-f（x₂）的解析式到因式乘積的形式，判斷符號(hào)，得出結(jié)論．
（2））假設(shè)存在實(shí)數(shù)a使f（x）為奇函數(shù)，得到f（-x）=-f（x），由此等式解出a的值，若a無(wú)解，說(shuō)明不存在實(shí)數(shù)a使f（x）為奇函數(shù)，若a有解，說(shuō)明存在實(shí)數(shù)a使f（x）為奇函數(shù)．

解答：解：（1）∵f（x）的定義域?yàn)镽，設(shè)x₁＜x₂，
則f(x1)-f(x2)=a-

1

2x1+1

-a+

1

2x2+1

=

2x1-2x2

(1+2x1)(1+2x2)

，（3分）
∵x₁＜x₂，∴2x1-2x2＜0，(1+2x1)(1+2x2)＞0，（5分）
∴f（x₁）-f（x₂）＜0，
即f（x₁）＜f（x₂），所以不論a為何實(shí)數(shù)f（x）總為增函數(shù)．（6分）
（2）假設(shè)存在實(shí)數(shù)a使f（x）為奇函數(shù)，
∴f（-x）=-f（x）（7分）
即a-

1

2-x+1

=-a+

1

2x+1

，（9分）
解得：a=1，故存在實(shí)數(shù)a使f（x）為奇函數(shù)．  （12分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查函數(shù)的奇偶性、單調(diào)性的判斷．