Question

【題目】已知,定義:表示不超過(guò)的最大整數(shù),例如:,.

（1）若,寫(xiě)出實(shí)數(shù)的取值范圍；

（2）若,且,求實(shí)數(shù)的取值范圍；

（3）設(shè),,若對(duì)于任意的,都有,求實(shí)數(shù)的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1） （2）；（3）

【解析】

（1）由表示不超過(guò)的最大整數(shù),可得的取值范圍為；

（2）由指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性,可得,則,即有,考慮,解不等式即可得到所求范圍；

（3）化簡(jiǎn)得在單調(diào)遞減,在單調(diào)遞增.求得的最值,可得所以在恒成立,討論當(dāng)時(shí),當(dāng)時(shí),由新定義和二次函數(shù)的最值求法,即可得到所求的范圍.

解:（1）若,

則表示不超過(guò)的最大整數(shù),

所以,

故的取值范圍為；

（2）若,可得,

,

則,,

,

當(dāng)時(shí),,不符合.

當(dāng)時(shí),,不符合.

則時(shí),,不符合.

當(dāng)時(shí),

所以,解得.

所以實(shí)數(shù)的取值范圍為；

（3）

在單調(diào)遞減,在單調(diào)遞增.

可得,,

則,

所以在恒成立,

即,整理得在恒成立,

當(dāng)時(shí), 在恒成立,即,

當(dāng)時(shí), 在恒成立,即,

綜上可得: 實(shí)數(shù)的取值范圍為.