Question

拋物線C：x²=8y與直線y=2x-2相交于A，B兩點，點P是拋物線C上不同A，B的一點，若直線PA，PB分別與直線y=2相交于點Q，R，O為坐標原點，則

OR

•

OQ

的值是（　　）

• A、20
• B、16
• C、12
• D、與點P位置有關(guān)的一個實數(shù)

Answer 1

考點：平面向量數(shù)量積的運算

專題：平面向量及應(yīng)用,圓錐曲線中的最值與范圍問題

分析：如圖所示，設(shè)A(x1，

x 2 1

8

)，B(x2，

x 2 2

8

)，P(x0，

x 2 0

8

)，R（x_R，2），Q（x_Q，2）．把直線AB方程與拋物線聯(lián)立可得根與系數(shù)的關(guān)系，利用點斜式可得直線PA，PB的方程，進而得到點Q，R的坐標，再利用數(shù)量積運算即可得出．

解答： 解：如圖所示，
設(shè)A(x1，

x 2 1

8

)，B(x2，

x 2 2

8

)，P(x0，

x 2 0

8

)，R（x_R，2），Q（x_Q，2）．
聯(lián)立

y=2x-2 x2=8y

，化為x²-16x+16=0，
∴x₁+x₂=16，x₁x₂=16．
直線PA的方程：y-

x 2 0

8

=

x 2 1 8 - x 2 0 8

x1-x0

(x-x0)，化為y-

x 2 0

8

=

x1+x0

8

(x-x0)．
令y=2，可得x_Q=

16+x1x0

x1+x0

．
同理直線PB的方程：y-

x 2 0

8

=

x2+x0

8

(x-x0)．
令y=2，可得x_R=

16+x2x0

x2+x0

．
∴

OR

•

OQ

=x_Rx_Q+4=

16+x1x0

x1+x0

•

16+x2x0

x2+x0

+4=

256+16x0(x1+x2)+x1x2 x 2 0

x1x2+x0(x1+x2)+ x 2 0

+4=

256+256x0+16 x 2 0

16+16x0+ x 2 0

=16+4=20．
故選：A．

點評：本題考查了直線與拋物線相交轉(zhuǎn)化為方程聯(lián)立可得根與系數(shù)的關(guān)系、點斜式、數(shù)量積運算等基礎(chǔ)知識與基本技能方法，考查了推理能力和計算能力，屬于難題．