如圖,給出定點(diǎn)A(a,0)(a>0)和直線l:x=-1.B是直線l上的動(dòng)點(diǎn),∠BOA的角平分線交AB于點(diǎn)C.求點(diǎn)C的軌跡方程,并討論方程表示的曲線類型與a值的關(guān)系.
注:文科題設(shè)還有條件a≠1
解:解法一:依題意,記B(-1,b)(b∈R),則直線OA和OB的方程分別為y=0和y=-bx.設(shè)點(diǎn)C(x,y),則有0≤x<a,由OC平分∠AOB,知點(diǎn)C到OA、OB距離相等.根據(jù)點(diǎn)到直線的距離公式得 |y|=① 依題設(shè),點(diǎn)C在直線AB上,故有:y=-(x-a) 由x-a≠0,得b=- ② 將②式代入①式得:y2[1+]=[y-]2. 整理得:y2[(1-a)x2-2ax+(1+a)y2]=0 若y≠0,則(1-a)x2-2ax+(1+a)y2=0(0<x<a); 若y=0,則b=0,∠AOB=π,點(diǎn)C的坐標(biāo)為(0,0).滿足上式. 綜上得點(diǎn)C的軌跡方程為:(1-a)x2-2ax+(1+a)y2=0(0≤x<a). ∵ a≠1, ∴(0≤r<a ③ 由此知,當(dāng)0<a<1時(shí),方程③表示橢圓弧段; 當(dāng)a>1時(shí),方程③表示雙曲線一支的弧段. 解法二:如圖,設(shè)D是l與x軸的交點(diǎn),過(guò)點(diǎn)C作CE⊥x軸,E是垂足 (Ⅰ)當(dāng)|BD|≠0時(shí),設(shè)點(diǎn)C(x,y), 則0<x<a,y≠0. 由CE∥BD,得 |BD|=(1+a) ∵∠COA=∠COB=∠COD-∠BOD=π-∠COA-∠BOD ∴2∠COA=π-∠BOD ∵tan(2∠COA)=, tan(π-∠BOD)=-tanBOD, tanCOA=, tanBOD=(1+a) ∴(1+a) 整理得:(1-a)x2-2ax+(1+a)y2=0(0<x<a) (Ⅱ)當(dāng)|BD|=0時(shí),∠BOA=π,則點(diǎn)C的坐標(biāo)為(0,0),滿足上式 綜合(Ⅰ)(Ⅱ),得點(diǎn)C的軌跡方程為 (1-a)x2-2ax+(1+a)y2=0(0≤x<a). 以下同解法一. |
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如圖,給出定點(diǎn)A(a,0)(a>0,a≠1)和直線l:x=-LB是直線l上的動(dòng)點(diǎn),∠BOA的角平分線交AB于點(diǎn)C,求點(diǎn)C的軌跡方程,并討論方程表示的曲線類型與a值的關(guān)系。
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