Question

設直線2x-y+1=0與橢圓相交于A、B兩點．
（1）線段AB中點M的坐標及線段AB的長；
（2）已知橢圓具有性質(zhì)：設A、B是橢圓上的任意兩點，M是線段AB的中點，若直線AB、OM的斜率都存在，并記為k_AB，k_OM，則k_AB?k_OM為定值．試對雙曲線寫出具有類似特性的性質(zhì)，并加以證明．

Answer 1

【答案】分析：（1）欲求線段AB中點M的坐標，只需求出A，B橫坐標之和，縱坐標之和，再用中點坐標公式計算即可．把直線2x-y+1=0代入橢圓中，利用韋達定理，求出x₁+x₂，x₁x₂，可得M點坐標．再用弦長公式，可求線段AB的長
（2）涉及中點弦問題，也可使用點差法解決，設A（x₁，y₁）、B（x₂，y₂），代入雙曲線方程作差即可得直線斜率與中點原點連線斜率之間的關(guān)系
解答：解：（1）設A（x₁，y₁）、B（x₂，y₂），則⇒⇒（2分）
所以
|AB|===
（2）設A、B是雙曲線上的任意兩點，M是線段AB的中點，若直線AB、OM的斜率都存在，并記為k_AB，k_OM，則k_AB?k_OM為定值．
證明：設A（x₁，y₁）、B（x₂，y₂），分別代入雙曲線，再相減后可得：
-=0
設M（x，y），則，代入上式可得=×
即k_AB?k_OM=
∴定值為
點評：本題考查了直線與雙曲線的位置關(guān)系，特別是當直線與曲線相交并且與弦的中點有關(guān)時，可以使用聯(lián)立方程組的辦法，也可采用點差法，但要認證體會兩種方法的局限性