Question

【題目】已知函數(shù)，.

（1）若曲線與在點處有相同的切線，求函數(shù)的極值；

（2）若，討論函數(shù)的單調(diào)性.

Answer 1

【答案】（1）的極大值，極小值為；（2）時，的單調(diào)增區(qū)間為，單調(diào)減區(qū)間為；時，的單調(diào)增區(qū)間為，，單調(diào)減區(qū)間為；時，的單調(diào)增區(qū)間為，沒有減區(qū)間；時，的單調(diào)增區(qū)間為，，單調(diào)減區(qū)間為.

【解析】

（1）對函數(shù)，分別求導(dǎo)，根據(jù)曲線與在點處有相同的切線，可知，解得，從而得到，求，判斷導(dǎo)數(shù)的正負(fù)，求極值，即可.

（2）先求的定義域，求導(dǎo)數(shù)，對進(jìn)行分類討論，求解即可.

（1），

，，

由題意知，∴，

∴

∴，

∴

∴或時，，時，，

∴在上是增函數(shù)，在上是減函數(shù)，在上是增函數(shù)，

∴的極大值，極小值為.

（2）的定義域為，

，

當(dāng)時，∵，∴.

∴時，，時，，

當(dāng)時，的解集為，解集為，

當(dāng)時，，當(dāng)時取等號，

當(dāng)時，解集為，解集為，

∴時，的單調(diào)增區(qū)間為，單調(diào)減區(qū)間為，

時，的單調(diào)增區(qū)間為，，單調(diào)減區(qū)間為，

時，的單調(diào)增區(qū)間為，沒有減區(qū)間，

時，的單調(diào)增區(qū)間為，，單調(diào)減區(qū)間為.