Question

已知數(shù)列{a_n}的各項為正數(shù)，其前n項和Sn滿足Sn=(

an+1

2

)2，設(shè)b_n=10-a_n（n∈N）
（1）求證：數(shù)列{a_n}是等差數(shù)列，并求{a_n}的通項公式；
（2）設(shè)數(shù)列{b_n}的前n項和為T_n，求T_n的最大值．
（3）求數(shù)列{|b_n|}（n∈N）的前n項和．

Answer 1

分析：（1）將已知的關(guān)于和與項的關(guān)系變形，然后仿寫一個新的等式，將兩個式子相減得到項的關(guān)系，利用等差數(shù)列的定義得到證明．
（2）求出數(shù)列{b_n}的通項，令通項小于等于0求出n的范圍，即從第幾項為負，得到T_n的最大值．
（3）由（2），通過對n的討論，利用絕對值的意義，將絕對值符號去掉，將數(shù)列{|b_n|}（n∈N）的前n項和問題轉(zhuǎn)化為數(shù)列{b_n}的前n項和，再利用等差數(shù)列的前n項和公式求出．

解答：解：（1）證明：∵Sn=(

an+1

2

)2
即4S_n=a_n²+2a_n+1
4S_n-1=a_n-1²+2a_n-1+1
兩個式子相減得
a_n-a_n-1=2
數(shù)列{a_n}是以1為首項，以2為公差的等差數(shù)列
∴a_n=2n-1
（2）∴b_n=10-a_n=-2n+11
令b_n≤0
得n≥

11

2

∴數(shù)列{b_n}中前5項都是正項，從第六項開始為負項
∴T_n的最大值（（T_n）_max=T₅=25
（3）當n≤5時，|b₁|+|b₂|+..+|b_n|=b₁+b₂+..+b_n=10n-n²
當n＞5時，|b₁|+|b₂|+..+|b_n|=b₁+b₂+…+b₅-（b₆+b₇+…+b_n）
=10×5-5²-（10n-n²-10×5+5²）=n²-10n+50
∴Vn=

10n-n2(n≤5) n2-10n+50(n＞5)

點評：求數(shù)列的前n項和問題，一般先求出數(shù)列的通項，然后根據(jù)通項的特點選擇合適的求和方法，常用的求和方法有：公式法、倒序相加法、錯位相減法、裂項相消法、分組法．