Question

已知函數(shù)f(x)＝4^x＋m·2^x＋1有且僅有一個零點，求m的取值范圍，并求出該零點．

Answer 1

思路分析　由題意可知，方程4^x＋m·2^x＋1＝0僅有一個實根，再利用換元法求解．

解析　∵f(x)＝4^x＋m·2^x＋1有且僅有一個零點，

即方程(2^x)²＋m·2^x＋1＝0僅有一個實根．

設(shè)2^x＝t(t＞0)，則t²＋mt＋1＝0.

當Δ＝0時，即m²－4＝0，

∴m＝－2時，t＝1；m＝2時，t＝－1(不合題意，舍去)，

∴2^x＝1，x＝0符合題意．

當Δ＞0時，即m＞2或m＜－2時，

t²＋mt＋1＝0有兩正或兩負根，

即f(x)有兩個零點或沒有零點．

∴這種情況不符合題意．

綜上可知：m＝－2時，f(x)有唯一零點，該零點為x＝0.