Question

設(shè)函數(shù)y=f（x）由方程x|x|+y|y|=1確定，下列結(jié)論正確的是 ________（請將你認為正確的序號都填上）
（1）f（x）是R上的單調(diào)遞減函數(shù)；
（2）對于任意x∈R，f（x）+x＞0恒成立；
（3）對于任意a∈R，關(guān)于x的方程f（x）=a都有解；
（4）f（x）存在反函數(shù)f^-1（x），且對于任意x∈R，總有f（x）=f^-1（x）成立．

Answer 1

解：去掉絕對值得：
作出其圖象為：如圖所示：
（1）在定義域上為遞減函數(shù)．正確．
（2）由雙曲線的漸近線可知：f（x）的圖象在y=-x的上方．正確．
（3）由f（x）的圖象向上向下無限延展，f（x）的圖象在y=a一定有交點，正確．
（4）由f（x）的圖象關(guān)于y=x對稱，正確．
故答案為：（1）（2）（3）（4）
分析：先去掉絕對值，將方程轉(zhuǎn)化為分段函數(shù)，再作出分段函數(shù)的圖象，用數(shù)形結(jié)合法易得結(jié)論．
點評：本題主要考查將方程問題轉(zhuǎn)化為分段函數(shù)，進而來研究分段函數(shù)的圖象和性質(zhì)，這類問題往往與圓錐曲線有關(guān)，綜合性較強．