Question

某工廠生產(chǎn)一種儀器的元件，由于受生產(chǎn)能力和技術水平等因素的限制，會產(chǎn)生較多次品，根據(jù)經(jīng)驗知道，次品數(shù)p（萬件）與日產(chǎn)量x（萬件）之間滿足關系：．已知每生產(chǎn)l萬件合格的元件可以盈利20萬元，但每產(chǎn)生l萬件次品將虧損10萬元．（實際利潤=合格產(chǎn)品的盈利-生產(chǎn)次品的虧損）
（1）試將該工廠每天生產(chǎn)這種元件所獲得的實際利潤T（萬元） 表示為日產(chǎn)量x（萬件）的函數(shù)；
（2）當工廠將這種儀器的元件的日產(chǎn)量x（萬件） 定為多少時獲得的利潤最大，最大利潤為多少？

Answer 1

【答案】分析：（1）根據(jù)題目條件寫出在x的不同范圍內的合格的元件間數(shù)，然后由實際利潤=合格產(chǎn)品的盈利-生產(chǎn)次品的虧損將生產(chǎn)這種元件所獲得的實際利潤T（萬元） 表示為日產(chǎn)量x（萬件）的函數(shù)；
（2）分別利用配方法和函數(shù)的單調性求函數(shù)在連段內的最值，最后取兩段的最大之中的最大者．
解答：解：（1）當1≤x＜4時，合格的元件數(shù)為（萬件），
利潤（萬元）；
當x≥4時，合格的元件數(shù)為（萬件），
利潤（萬元），
綜上，該工廠每天生產(chǎn)這種元件所獲得的利潤為．
（2）當1≤x＜4時，T=20x-5x²=-5（x-2）²+20
∴當x=2（萬件）時，利潤T的最大值20（萬元）；
當x≥4時，
令，則，
當x∈[4，+∞）時，y^′＞0，所以在[4，+∞）上是單調遞增，
所以函數(shù)T（x）在[4，+∞）上是減函數(shù)，
則當x=4時，利潤T的最大值0．      
綜上所述，當日產(chǎn)量定為2（萬件）時，工廠可獲得最大利潤20萬元．
答：當工廠將這種儀器的元件的日產(chǎn)量x（萬件） 定為2（萬件）時獲得的利潤最大，最大利潤為20萬元．
點評：本題考查了函數(shù)模型的選擇及應用，考查了配方法及利用導數(shù)研究函數(shù)的最值，注意分段函數(shù)的最值要分段求，此題是中檔題．