Question

【題目】已知函數(shù)f(x)＝ln(ax＋1)(x≥0，a>0)， .

(1)討論函數(shù)y＝f(x)－g(x)的單調(diào)性；

(2)若不等式f(x)≥g(x)＋1在x∈[0，＋∞)時(shí)恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）

【解析】試題分析：（1）求導(dǎo)數(shù)可得，當(dāng)時(shí)，函數(shù)在上單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，令求得的范圍，可得函數(shù)增區(qū)間， 求得的范圍，可得函數(shù)的減區(qū)間；（2）由（1）知，當(dāng)時(shí)，不等式，在時(shí)恒成立，當(dāng)時(shí)，可證明存在 使得不等式不成立，綜合可得取值范圍.

試題解析：(1)∵y＝f(x)－g(x)＝ln(ax＋1)－，

y′＝－＝，

當(dāng)a≥1時(shí)，y′≥0，所以函數(shù)y＝f(x)－g(x)是[0，＋∞)上的增函數(shù)；

當(dāng)0<a<1時(shí)，由y′>0得x>2，所以函數(shù)y＝f(x)－g(x)在上是單調(diào)遞增函數(shù)，函數(shù)y＝f(x)－g(x)在上是單調(diào)遞減函數(shù)；

(2)當(dāng)a≥1時(shí)，函數(shù)y＝f(x)－g(x)是[0，＋∞)上的增函數(shù)．

所以f(x)－g(x)≥f(0)－g(0)＝1，

即不等式f(x)≥g(x)＋1在x∈[0，＋∞)時(shí)恒成立，

當(dāng)0<a<1時(shí)，函數(shù)y＝f(x)－g(x)是上的減函數(shù)，存在x0∈，使得f(x0)－g(x0)<f(0)－g(0)＝1，即不等式f(x0)≥g(x0)＋1不成立，

綜上，實(shí)數(shù)a的取值范圍是[1，＋∞)．