【題目】已知函數(shù)f(x)=ln(ax+1)(x≥0,a>0), .

(1)討論函數(shù)y=f(x)-g(x)的單調(diào)性;

(2)若不等式f(x)≥g(x)+1在x∈[0,+∞)時恒成立,求實數(shù)a的取值范圍;

【答案】(1)見解析;(2)

【解析】試題分析:(1)求導(dǎo)數(shù)可得當(dāng)時,函數(shù)在上單調(diào)遞增,當(dāng),求得的范圍,可得函數(shù)增區(qū)間, 求得的范圍,可得函數(shù)的減區(qū)間;(2)由(1)知,當(dāng)時,不等式,時恒成立,當(dāng),可證明存在 使得不等式不成立,綜合可得取值范圍.

試題解析:(1)∵y=f(x)-g(x)=ln(ax+1)-,

y′=

當(dāng)a≥1時,y′≥0,所以函數(shù)y=f(x)-g(x)是[0,+∞)上的增函數(shù);

當(dāng)0<a<1時,由y′>0得x>2,所以函數(shù)y=f(x)-g(x)在上是單調(diào)遞增函數(shù),函數(shù)y=f(x)-g(x)在上是單調(diào)遞減函數(shù);

(2)當(dāng)a≥1時,函數(shù)y=f(x)-g(x)是[0,+∞)上的增函數(shù).

所以f(x)-g(x)≥f(0)-g(0)=1,

即不等式f(x)≥g(x)+1在x∈[0,+∞)時恒成立,

當(dāng)0<a<1時,函數(shù)y=f(x)-g(x)是上的減函數(shù),存在x0,使得f(x0)-g(x0)<f(0)-g(0)=1,即不等式f(x0)≥g(x0)+1不成立,

綜上,實數(shù)a的取值范圍是[1,+∞).

練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】已知,且sin(α+β)=3sin(α-β).

(1)若tanα=2,求tanβ的值;

(2)求tan(α-β)的最大值.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】已知橢圓C: =1過點A(2,0),B(0,1)兩點.
(1)求橢圓C的方程及離心率;
(2)設(shè)P為第三象限內(nèi)一點且在橢圓C上,直線PA與y軸交于點M,直線PB與x軸交于點N,求證:四邊形ABNM的面積為定值.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】在平面直角坐標系中,當(dāng)P(x,y)不是原點時,定義P的“伴隨點”為P′( , ),當(dāng)P是原點時,定義“伴隨點”為它自身,現(xiàn)有下列命題:
①若點A的“伴隨點”是點A′,則點A′的“伴隨點”是點A.
②單元圓上的“伴隨點”還在單位圓上.
③若兩點關(guān)于x軸對稱,則他們的“伴隨點”關(guān)于y軸對稱
④若三點在同一條直線上,則他們的“伴隨點”一定共線.
其中的真命題是

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】已知函數(shù)f(x)=xln x,g(x)=x3+ax2-x+2(a∈R).

(1)如果函數(shù)g(x)的單調(diào)遞減區(qū)間為,求函數(shù)g(x)的解析式;

(2)若不等式2f(x)≤+2恒成立,求實數(shù)a的取值范圍.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】設(shè)函數(shù)f(x)=ax2﹣a﹣lnx,g(x)= ,其中a∈R,e=2.718…為自然對數(shù)的底數(shù).
(1)討論f(x)的單調(diào)性;
(2)證明:當(dāng)x>1時,g(x)>0;
(3)確定a的所有可能取值,使得f(x)>g(x)在區(qū)間(1,+∞)內(nèi)恒成立.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】已知函數(shù)fx)=,其中c為常數(shù),且函數(shù)fx)的圖象過原點.

(1)求c的值,并求證:f)+fx)=1;

(2)判斷函數(shù)fx)在(-1,+∞)上的單調(diào)性,并證明.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】已知數(shù)列{an}的前n項和Sn=3n2+8n,{bn}是等差數(shù)列,且an=bn+bn+1
(1)求數(shù)列{bn}的通項公式;
(2)令cn= ,求數(shù)列{cn}的前n項和Tn

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】某桶裝水經(jīng)營部每天的房租、人員工資等固定成本為200元,每桶水的進價為5元,銷售單價與日均銷售量的關(guān)系如圖所示.

銷售單價/元

6

6.5

7

7.5

8

8.5

日均銷售量/桶

480

460

440

420

400

380

請根據(jù)以上數(shù)據(jù)作出分析,這個經(jīng)營部怎樣定價才能獲得最大利潤?

查看答案和解析>>

同步練習(xí)冊答案