Question

過點P（-2，-3）作圓（x-4）²+（y-2）²=9的兩條切線，切點分別為A、B，求：
（1）切線PA、PB所在直線的方程；
（2）經(jīng)過圓心C，切點A、B這三點圓的方程；
（3）直線AB的方程；
（4）線段AB的長．

Answer 1

考點：圓的標準方程,直線的一般式方程,兩點間的距離公式,圓的切線方程

專題：直線與圓

分析：（1）當(dāng)切線斜率不存在時，x=-2不成立，當(dāng)切線斜率存在時，設(shè)切線方程為y+3=k（x+2），由圓心C（4，2）到切線的距離等于半徑r=3，能求出PA、PB所在的直線方程．
（2）連結(jié)CA、CB．由平面幾何知，CA⊥PA，CB⊥PB．這些點P、A、C、B共圓，且CP為直徑．這也是過三點A、B、C的圓．由此能求出圓的方程．
（3）直線AB即為這兩個圓的公共弦所在直線．由此能求出直線AB的方程．
（3）設(shè)AB、PC交于點Q，分別求出|PQ|，|CQ|，由平面幾何能求出線段AB的長．

解答： 解：（1）當(dāng)切線斜率不存在時，x=-2不成立．
當(dāng)切線斜率存在時，設(shè)切線方程為y+3=k（x+2），即kx-y+2k-3=0，
圓心C（4，2）到切線的距離等于半徑r=3，
∴

|4k-2+2k-3|

k2+1

=3，
解得k=

10±2 13

9

，
PA、PB所在的直線方程為y+3=

10±2 13

9

（x+2）．
（2）如圖所示，連結(jié)CA、CB．由平面幾何知，
CA⊥PA，CB⊥PB．這些點P、A、C、B共圓，且CP為直徑．
這也是過三點A、B、C的圓．∵P（-2，-3），圓心坐標為C（4，2），?
∴所求圓的方程為（x+2）（x-4）+（y+3）（ y-2）=0，即x²+y²-2x+y-14=0．
（3）直線AB即為這兩個圓的公共弦所在直線．
由x²+y²-2x+y-14=0與（x-4）²+（y-2）²=9相減，
得6x+5y-25=0．
（3）設(shè)AB、PC交于點Q，
則|PQ|=

|6•(-2)+5•(-3)-25|

36+25

=

52

61

，
|CQ|=

|6×4+5×2-25|

36+25

=

9

61

．
在Rt△PCA中，因為AQ⊥PC，由平面幾何知|AQ|²=

52

61

•

9

61

=

468

61

．
|AB|=2|AQ|=2

468 61

=

12

61

=

793

．

點評：本題考查直線方程的求法，考查圓的方程的求法，考查線段長的求法，是中檔題，解題時要認真審題，注意圓的性質(zhì)的合理運用．