Question

11．函數(shù)f（x）對任意的a、b∈R，都有f（a+b）=f（a）+f（b）-1，并且當x＞0時，f（x）＞1．
（1）求證：f（x）是R上的增函數(shù)；
（2）若f（2）=3，解不等式f（m-2）＜3．

Answer 1

分析 （1）先任取x₁＜x₂，x₂-x₁＞0．由當x＞0時，f（x）＞1．得到f（x₂-x₁）＞1，再對f（x₂）按照f（a+b）=f（a）+f（b）-1變形得到結(jié)論．
（2）由f（2）=3，再將f（m-2）＜3轉(zhuǎn)化為f（m-2）＜f（2），由（1）中的結(jié)論，利用單調(diào)性求解．

解答 解：（1）證明：任取x₁＜x₂，
∴x₂-x₁＞0．∴f（x₂-x₁）＞1．
∴f（x₂）=f[x₁+（x₂-x₁）]=f（x₁）+f（x₂-x₁）-1＞f（x₁），
∴f（x）是R上的增函數(shù)．
（2）∵f（2）=3．
∴f（m-2）＜3=f（2）．
又由（1）的結(jié)論知，f（x）是R上的增函數(shù)，
m-2＜2，m＜4
∴解不等式f（m-2）＜3的解集為：（-∞，4）．

點評 本題主要考查抽象函數(shù)的單調(diào)性證明和利用單調(diào)性定義解抽象不等式，利用定義法以及轉(zhuǎn)化法是解決本題的關(guān)鍵．屬于中檔題