Question

設(shè)函數(shù)f（x）=-x³-2mx²-m²x+1-m（其中m＞-2）的圖象在x=2處的切線與直線y=-5x+12平行．
（Ⅰ）求m的值與該切線方程；
（Ⅱ）若對任意的x₁，x₂∈[0，1]，|f（x₁）-f（x₂）|≤M恒成立，則求M的最小值；
（Ⅲ）若a≥0，b≥0，c≥0且a+b+c=1，試證明：．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義，及函數(shù)f（x）=-x³-2mx²-m²x+1-m（其中m＞-2）的圖象在x=2處的切線與直線y=-5x+12平行，可求求m的值與該切線方程；
（Ⅱ）利用導(dǎo)數(shù)求解最值，要使對任意的x₁，x₂∈[0，1]，|f（x₁）-f（x₂）|≤M恒成立，則M≥最大值-最小值；
（Ⅲ）利用不等式間的等價轉(zhuǎn)化求解，證明即可．
解答：（Ⅰ）解：∵f'（x）=-3x²-4mx-m²，所以f'（2）=-12-8m-m²=-5，
解得m=-1或m=-7
∵m＞-2，∴m=-1
∴f（x）=-x³+2x²-x+2
∴f（2）=-8+8-2+2=0
∴該切線方程為y=-5x+10；
（Ⅱ）解：f'（x）=-3x²+4x-1=0，解得x₁=1，x₂=，列表如下

x					1
f'（x）		-		+
f（x）	2	遞減		遞增	2

∴函數(shù)f（x）在區(qū)間[0，1]的最小值為f（ ）=，最大值為2．
要使對任意的x₁，x₂∈[0，1]，|f（x₁）-f（x₂）|≤M恒成立，則M≥
∴M的最小值為；
（Ⅲ）證明：∵f（x）=-x³+2x²-x+2=（1+x²）（2-x）
由（Ⅱ）知，當(dāng)x∈[0，1]時，（1+x²） （2-x）≥，

∴（當(dāng)時取等號）
當(dāng)a≥0，b≥0，c≥0且a+b+c=1時，0≤a≤1，0≤b≤1，0≤c≤1

∵（a+b+c）²=a²+b²+c²+2ab+2bc+2ca≤3（a²+b²+c²），
∴a²+b²+c²≥，
∴（當(dāng)且僅當(dāng)a=b=c=時取等號）．
點(diǎn)評：本題考查導(dǎo)數(shù)知識的運(yùn)用，考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義，考查函數(shù)的最值，考查不等式的證明，用好導(dǎo)數(shù)是關(guān)鍵．