Question

在平面直角坐標(biāo)系中，若兩個(gè)不同的點(diǎn)A（a，b），B（-a，-b）均在函數(shù)y=f（x）的圖象上，則稱[A，B]為函數(shù)f（x）的一組關(guān)于原點(diǎn)的中心對(duì)稱點(diǎn)（[A，B]與[B，A]看作同一組），函數(shù)g(x)=

2sin4x(x≤0) log2(x+1)(x＞0)

關(guān)于原點(diǎn)的中心對(duì)稱點(diǎn)的組數(shù)為（　　）

A．1

B．2

C．3

D．4

Answer 1

分析：作出函數(shù)g（x）的圖象，根據(jù)y=2sin4x是R上的奇函數(shù)，可得函數(shù)y=2sin4x圖象在原點(diǎn)右邊的部分與y=log₂（x+1）在原點(diǎn)右邊的圖象有交點(diǎn)的個(gè)數(shù)，即為函數(shù)g（x）關(guān)于原點(diǎn)的中心對(duì)稱點(diǎn)的組數(shù)．由此不難得到本題的答案．

解答：解：作出函數(shù)數(shù)g(x)=

2sin4x(x≤0) log2(x+1)(x＞0)

的圖象，
當(dāng)x≤0時(shí)，函數(shù)圖象是三角函數(shù)y=2sin4x圖象在原點(diǎn)左邊的部分；
當(dāng)x＞0時(shí)，函數(shù)圖象是y=log₂（x+1）圖象在原點(diǎn)右邊的部分．
為了找出關(guān)于原點(diǎn)的中心對(duì)稱點(diǎn)，作出y=2sin4x圖象在原點(diǎn)右邊的部分．
因?yàn)閥=2sin4x是R上的奇函數(shù)，所以y=2sin4x圖象在原點(diǎn)右邊的部分與
y=log₂（x+1）在原點(diǎn)右邊的圖象有幾個(gè)交點(diǎn)，函數(shù)g（x）關(guān)于原點(diǎn)的中心
對(duì)稱點(diǎn)的組數(shù)就有幾對(duì)．
∵當(dāng)0＜x≤3時(shí)，log₂（x+1）的取值小于2，兩個(gè)圖象有三個(gè)交點(diǎn)
當(dāng)x＞3時(shí)，log₂（x+1）的取值大于2，而2sin4x≤2，兩圖象沒有公共點(diǎn)
∴函數(shù)g(x)=

2sin4x(x≤0) log2(x+1)(x＞0)

關(guān)于原點(diǎn)的中心對(duì)稱點(diǎn)共有3組
故選C

點(diǎn)評(píng)：本題給出分段函數(shù)，求函數(shù)關(guān)于原點(diǎn)的中心對(duì)稱點(diǎn)的組數(shù)．著重考查了三角函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)的圖象與性質(zhì)等知識(shí)，屬于中檔題．