Question

（1）設不等式|2x-1|＜1的解集為M，且a∈M，b∈M，試比較ab+1與a+b的大��；
（2）若a，b，c為正實數(shù)且滿足a+2b+3c=6，求

a+1

+

2b+1

+

3c+1

的最大值．

Answer 1

考點：一般形式的柯西不等式,不等關系與不等式

專題：綜合題,不等式的解法及應用

分析：（1）由|2x-1|＜1 可得-1＜2x-1＜1，求出x的范圍，即可得到集合M，可得0＜a＜1，0＜b＜1，根據(jù)（ab+1）-（a+b）=（a-1）（b-1）＞0，得到ab+1與a+b的大�。�
（2）由題意可得，3[（a+1）+（2b+1）+（3c+1）]=27．再利用柯西不等式可得27≥（

a+1

+

2b+1

+

3c+1

）²，由此可得

a+1

+

2b+1

+

3c+1

的最大值．

解答： 解：（1）由|2x-1|＜1 可得-1＜2x-1＜1，∴0＜x＜1，集合M=（0，1）．
∴0＜a＜1，0＜b＜1，
∴（ab+1）-（a+b）=（a-1）（b-1）＞0，
∴ab+1＞a+b；
（2）由a+2b+3c=6，可得（a+1）+（2b+1）+（3c+1）=9，
∴3[（a+1）+（2b+1）+（3c+1）]=27．
再利用柯西不等式，可得（1+1+1）•[（a+1）+（2b+1）+（3c+1）]=27≥（

a+1

+

2b+1

+

3c+1

）²，
∴

a+1

+

2b+1

+

3c+1

≤3

3

，當且僅當

a+1

=

2b+1

=

3c+1

時，取等號，
故

a+1

+

2b+1

+

3c+1

的最大值為3

3

．

點評：本題主要考查絕對值不等式的解法，用作差比較法比較兩個式子的大小，考查利用柯西不等式求式子的最大值，式子的變形是解題的關鍵，屬于中檔題．