【題目】已知圓和點，動圓經(jīng)過點且與圓相切，圓心的軌跡為曲線

（1）求曲線的方程；

（2）點是曲線與軸正半軸的交點，點在曲線上，若直線的斜率滿足求面積的最大值.

【答案】（1）;（2）．

【解析】試題分析：（1）利用圓與圓的位置關系，得出曲線是為焦點，長軸長為的橢圓，即可求曲線的方程；（2）聯(lián)立方程組，得，利用韋達定理，結合，得出直線過定點，表示出面積，即可，求面積的最大值.

試題解析：（1）圓的圓心為，半徑為，點在圓內(nèi)，因為動圓經(jīng)過點且與圓相切，所以動圓與圓內(nèi)切．設動圓半徑為，則．因為動圓經(jīng)過點，所以， ，所以曲線是為焦點，長軸長為的橢圓．由．得，所以曲線的方程為．

（2）直線斜率為0時，不合題意，設，直線，

聯(lián)立方程組，得， ，

又，知

．

代入得，

又，化簡得，

解得，故直線過定點，由，解得，

，

（當且僅當時取等號），綜上， 面積的最大值為．

【方法點晴】本題主要考查待定系數(shù)法求橢圓方程和最值問題，屬于難題.解決圓錐曲線中的最值問題一般有兩種方法：一是幾何意義，特別是用圓錐曲線的定義和平面幾何的有關結論來解決，非常巧妙；二是將圓錐曲線中最值問題轉化為函數(shù)問題，然后根據(jù)函數(shù)的特征選用參數(shù)法、配方法、判別式法、三角函數(shù)有界法、函數(shù)單調(diào)法以及均值不等式法，本題（2）就是用的這種思路，利用均值不等式法求三角形面積最大值的.

練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】已知函數(shù).

（Ⅰ）證明：函數(shù)在上單調(diào)遞增；

（Ⅱ）若， ，求的取值范圍.

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】已知函數(shù)（為自然對數(shù)的底數(shù)）.

（1）若， ，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；

（2）若，且方程在內(nèi)有解，求實數(shù)的取值范圍.

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】已知函數(shù).若時方程有兩 個不同的實根，則實數(shù)的取值范圍是________；若的值域為，則實數(shù)的

取值范圍是________.

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】(2015·廣東卷)若直線l1和l2是異面直線，l1在平面α內(nèi)，l2在平面β內(nèi)，l是平面α與平面β的交線，則下列命題正確的是(　　)

A. l與l1，l2都不相交

B. l與l1，l2都相交

C. l至多與l1，l2中的一條相交

D. l至少與l1，l2中的一條相交

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】已知焦點在軸上的橢圓的中心是原點，離心率為雙曲線離心率的一半，直線被橢圓截得的線段長為.直線： 與軸交于點，與橢圓交于兩個相異點，且.

（1）求橢圓的方程；

（2）是否存在實數(shù)，使？若存在，求的取值范圍；若不存在，請說明理由.

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】下列命題正確的是__________．（寫出所有正確命題的序號）

①已知，“且”是“”的充要條件；

②已知平面向量，“且”是“”的必要不充分條件；

③已知，“”是“”的充分不必要條件；

④命題：“，使且”的否定為：“，都有且”

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】已知函數(shù).

（1）若在定義域上為單調(diào)遞減函數(shù)，求實數(shù)的取值范圍；

（2）是否存在實數(shù)，使得恒成立且有唯一零點，若存在，求出滿足， 的的值；若不存在，請說明理由.

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】已知函數(shù)的定義域為，對于任意的都有，設時， .

（1）求；

（2）證明：對于任意的， ；

（3）當時，若不等式在上恒定成立，求實數(shù)的取值范圍.

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