Question

設函數(shù)f（x）表示實數(shù)x與x的給定區(qū)間內整數(shù)之差絕對值的最小值．
（1）當x∈[-

1

2

，

1

2

]時，求出f(x)的解析式，當x∈[k-

1

2

，k+

1

2

](k∈Z）時，寫出用絕對值符號表示的f（x）的解析式；
（2）證明函數(shù)f（x）是偶函數(shù)（x∈R）；
（3）若e-

1

2

＜a＜1，求證方程f（x）-loga

x

=0有且只有一個實根，并求出這個實根．

Answer 1

分析：（1）由定義知當x∈[-

1

2

，

1

2

]時，x與0距離最近，函數(shù)f（x）表示實數(shù)x與0之差絕對值即f（x）=|x|，，當x∈[k-

1

2

，k+

1

2

](k∈Z)時，k為與x最近的一個整數(shù)，即f（x）=|x-k|
（2）函數(shù)f（x）的定義域為R，對任何x∈R存在k∈Z，滿足

k- 1 2 ≤x≤k+ 1 2 ，f(x)=|x-k|．

故只需證明-

k- 1 2 ≤-x≤-k+ 1 2

時，f（-x）=f（x）即可
（3）由于e-

1

2

＜a＜1，loga

x

的正負由x與1的大小決定，故分x＞1，x=1，

1

2

＜x＜1，0＜x≤

1

2

討論方程根的情況，注意在每種情況下由f（x）定義，將方程等價變形為關于x的方程，通過研究函數(shù)f（x）-loga

x

的性質研究根的個數(shù)．

解答：解：（1）當x∈[-

1

2

，

1

2

]時，由定義知：x與0距離最近，f（x）=|x|，x∈[-

1

2

，

1

2

]．
當x∈[k-

1

2

，k+

1

2

](k∈Z)時，由定義知：k為與x最近的一個整數(shù)，故f(x)=|x-k|，x∈[k-

1

2

，k+

1

2

](k∈Z)
（2）對任何x∈R，函數(shù)f（x）都存在，且存在k∈Z，滿足

k- 1 2 ≤x≤k+ 1 2 ，f(x)=|x-k|．由k- 1 2 ≤x ≤k+ 1 2 可以得出-k- 1 2 ≤-x≤-k+ 1 2 (k∈z)

即-x∈[-k-

1

2

，-k+

1

2

](-k∈Z）．
由（1）的結論，f（-x）=|-x-（-k）|=|k-x|=|x-k|=f（x），即f（x）是偶函數(shù)．
（3）f(x)-loga

x

=0，即|x-k|-

1

2

logax=0．
①當x＞1時，|x-k|≥0＞

1

2

logax，∴|x-k|-

1

2

logax=0沒有大于1的實根；
②容易驗證x=1為方程|x-k|-

1

2

logax=0的實根；
③當

1

2

＜x＜1時，方程|x-k|-

1

2

logax=0變?yōu)?-x-

1

2

logax=0．
設H(x)=

1

2

logax-(1-x)(

1

2

＜x＜1)．

則H′(x)= 1 2xlna +1

＜ 1 2xlne- 1 2 +1 =- 1 x +1 ＜0，

所以當

1

2

＜x＜1時，H(x)為減函數(shù)，H（x）＞H（1）=0．所以方程沒有

1

2

＜x＜1的實根；
④當0＜x≤

1

2

時，方程|x-k|-

1

2

logax=0變?yōu)閤-

1

2

logax=0．
設G(x)=

1

2

logax-x(0＜x≤

1

2

)，G（x）為減函數(shù)，G(x)≥G(

1

2

)=H(

1

2

)＞H（1）=0，所以方程沒有0＜x≤

1

2

的實根． 綜上可知，當e-

1

2

＜a＜1時，方程f（x）-loga

x

=0有且僅有一個實根，實根為1．

點評：本題綜合考察了函數(shù)的奇偶性的判斷，函數(shù)零點問題與函數(shù)性質的關系，導數(shù)的工具性作用以及對新定義的理解和運用