Question

已知函數(shù)f（x）是定義在R上的奇函數(shù)，且當(dāng)x≥0時有f（x）=

4x

x+4

．
（1）判斷函數(shù)f（x）的單調(diào)性，并求使不等式f（2m+1）+f（m²-2m-4）＞0成立的實(shí)數(shù)m的取值范圍．
（2）若a、b、c分別是△ABC的三個內(nèi)角A、B、C所對的邊，△ABC面積S_△ABC=

3

2

，c=f（4），A=60°，求a、b的值．

Answer 1

考點(diǎn)：余弦定理,函數(shù)單調(diào)性的判斷與證明,函數(shù)奇偶性的性質(zhì)

專題：解三角形

分析：（1）首先根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性判斷函數(shù)的單調(diào)性，然后列出不等式即可求出m的取值范圍；
（2）根據(jù)三角形的面積求出b的值，再由余弦定理求出a的值．

解答： 解：（1）∵當(dāng)x≥0時，f（x）時有f（x）=

4x

x+4

=4-

16

x+4

∴f（x）在[0，+∞）上是增函數(shù)，
又∵f（x）是奇函數(shù)，
∴f（x）在（-∞，+∞）是增函數(shù)，
∵f（2m+1）+f（m²-2m-4）＞0
∴2m+1＞-（m²-2m-4）
∴m＜-

3

或m＞

3

（2）c=f（4）=2，
∵S_△ABC=

1

2

bcsinA

3

2

，∴

1

2

b•2sin60°=

3

2

，得b=1．
由余弦定理得：a²=b²+c²-2bccosA=1²+2²-2×1×2•cos60°=3，所以a=

3

．

點(diǎn)評：本題考查余弦定理、三角形的面積公式以及函數(shù)的單調(diào)性、奇偶性的綜合應(yīng)用，是一道中檔題．