Question

已知偶函數(shù)f（x）在[0，+∞）上為增函數(shù)，且f（

1

2

）=0．求不等式f（log_ax）＞0（a＞0，且a≠1）的解集．

Answer 1

分析：由偶函數(shù)在對(duì)稱(chēng)區(qū)間上單調(diào)性相反，可判斷出f（x）在[0，+∞）上是增函數(shù)，在（-∞，0）上是減函數(shù)，進(jìn)而根據(jù)f（-

1

2

）=f（

1

2

）=0．可將不等式f（log_ax）＞0化為對(duì)數(shù)不等式，分類(lèi)討論并根據(jù)對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性可得答案．

解答：解：因?yàn)閒（

1

2

）=0．
所以不等式f（log_ax）＞0 等價(jià)于f（log_ax）＞f（

1

2

）
因?yàn)榕己瘮?shù)f（x）在[0，+∞）上是增函數(shù)，所以（-∞，0）上是減函數(shù)
（1）當(dāng)log_ax≥0時(shí)，log_ax＞

1

2

若0＜a＜1，解得0＜x＜

a

；
若a＞1，解得x＞

a

；
（2）當(dāng)log_ax＜0時(shí)，log_ax＜-

1

2

；
若0＜a＜1，解得x＞

a

a

；
若a＞1，解得0＜x＜

a

a

；
即：0＜a＜1時(shí)不等的解集（0，

a

）∪（

a

a

，+∞）；
a＞1時(shí)不等的解集（0，

a

a

）∪（

a

，+∞）；

點(diǎn)評(píng)：本題考查的知識(shí)點(diǎn)是對(duì)數(shù)函數(shù)的圖象與性質(zhì)，函數(shù)的單調(diào)性與奇偶性，熟練掌握對(duì)數(shù)函數(shù)的圖象和性質(zhì)是解答的關(guān)鍵．