橢圓E：
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)的離心率為
1
2
，F1(-c，0)，F2(c，0)分別是左、右焦點(diǎn)，過(guò)F1的直線(xiàn)與圓（x+c）2+（y+2）2=1相切，且與橢圓E交于A、B兩點(diǎn)．
（1）當(dāng)AB=
16
5
時(shí)，求橢圓E的方程；
（2）求弦AB中點(diǎn)的軌跡方程．
分析：（1）設(shè)出橢圓方程與切線(xiàn)方程，利用過(guò)F1的直線(xiàn)與圓（x+c）2+（y+2）2=1相切，求得切線(xiàn)的斜率，將切線(xiàn)AB的方程與橢圓方程聯(lián)立，利用弦長(zhǎng)公式，即可求得橢圓E的方程；
（2）由（1）得，AB的中點(diǎn)（-
4c
5
，
3
c
5
）或（-
4c
5
，-
3
c
5
），進(jìn)而可得弦AB的中點(diǎn)軌跡方程．
解答：解：橢圓E：
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)的離心率為
1
2
，可設(shè)橢圓E：
x2
4
+
y2
3
=c2
根據(jù)已知設(shè)切線(xiàn)AB為：y=k（x+c），即kx-y+ck=0，
（1）圓（x+c）2+（y+2）2=1的圓心（-c，-2）到直線(xiàn)kx-y+ck=0的距離為d=
2
1+k2
=1，
∴k=±
3

∴切線(xiàn)AB為：y=±
3
（x+c），與橢圓方程聯(lián)立，可得5x2+8cx=0，
∴x1=0，x2=-
8c
5

∴|AB|=
1+k2
|x1-x2|=
16c
5
=
16
5
，∴c=1，
∴橢圓E的方程為：
x2
4
+
y2
3
=1．（9分）
（2）由（1）得，AB的中點(diǎn)（-
4c
5
，
3
c
5
）或（-
4c
5
，-
3
c
5
）
故弦AB的中點(diǎn)軌跡方程為
3
x+4y=0(x＜0)和
3
x-4y=0(x＜0)．（13分）
點(diǎn)評(píng)：本題考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，考查直線(xiàn)與橢圓的位置關(guān)系，考查弦長(zhǎng)公式，解題的關(guān)鍵是確定橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，屬于中檔題．
練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

橢圓E：
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)的離心率為
1
2
，F1(-c，0)，F2(c，0)分別是左、右焦點(diǎn)，過(guò)F1的直線(xiàn)與圓（x+c）2+（y+2）2=1相切，且與橢圓E交于A、B兩點(diǎn)．
（1）當(dāng)AB=
16
5
時(shí)，求橢圓E的方程；
（2）若直線(xiàn)AB的傾斜角為銳角，當(dāng)c變化時(shí)，求證：AB的中點(diǎn)在一定直線(xiàn)上．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

（2013•鎮(zhèn)江二模）如圖，設(shè)A，B分別為橢圓E：
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)的右頂點(diǎn)和上頂點(diǎn)，過(guò)原點(diǎn)O作直線(xiàn)交線(xiàn)段AB于點(diǎn)M（異于點(diǎn)A，B），交橢圓于C，D兩點(diǎn)（點(diǎn)C在第一象限內(nèi)），△ABC和△ABD的面積分別為S1與S2．
（1）若M是線(xiàn)段AB的中點(diǎn)，直線(xiàn)OM的方程為y=
1
3
x，求橢圓的離心率；
（2）當(dāng)點(diǎn)M在線(xiàn)段AB上運(yùn)動(dòng)時(shí)，求
S1
S2
的最大值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

（2013•崇明縣一模）如圖，橢圓E：
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)的左焦點(diǎn)為F1，右焦點(diǎn)為F2，過(guò)F1的直線(xiàn)交橢圓于A，B兩點(diǎn)，△ABF2的周長(zhǎng)為8，且△AF1F2面積最大時(shí)，△AF1F2為正三角形．
（1）求橢圓E的方程；
（2）設(shè)動(dòng)直線(xiàn)l：y=kx+m與橢圓E有且只有一個(gè)公共點(diǎn)P，且與直線(xiàn)x=4相交于點(diǎn)Q．試探究：①以PQ為直徑的圓與x軸的位置關(guān)系？
②在坐標(biāo)平面內(nèi)是否存在定點(diǎn)M，使得以PQ為直徑的圓恒過(guò)點(diǎn)M？若存在，求出M的坐標(biāo)；若不存在，說(shuō)明理由．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

（2013•成都二模）巳知橢圓E：
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)（a＞b＞0）以?huà)佄锞�(xiàn)y2=8x的焦點(diǎn)為頂點(diǎn)，且離心率為
1
2

（I）求橢圓E的方程
（II）若F為橢圓E的左焦點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，直線(xiàn)l：y=kx+m與橢圓E相交于A、B 兩點(diǎn)，與直線(xiàn)x=-4相交于Q點(diǎn)，P是橢圓E上一點(diǎn)且滿(mǎn)足
OP
=
OA
+
OB
，證明
OP
.
FQ
為定值并求出該值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

如圖，已知橢圓E：
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)的離心率為
3
2
，E的左頂點(diǎn)為A、上頂點(diǎn)為B，點(diǎn)P在橢圓上，且△PF1F2的周長(zhǎng)為4+2
3
．
精英家教網(wǎng)
（I）求橢圓的方程；
（II）設(shè)C，D是橢圓E上兩不同點(diǎn)，CD∥AB，直線(xiàn)CD與x軸、y軸分別交于M，N兩點(diǎn)，且
MC
=λ
CN
，
MD
=μ
DN
，求λ+μ的取值范圍．

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