Question

已知點(diǎn)F₁、F₂為雙曲線

x2

a2

-

y2

b2

=1（a＞0，b＞0）的左、右焦點(diǎn)，P為右支上一點(diǎn)，點(diǎn)P到右準(zhǔn)線的距離為d，若|PF₁|、|PF₂|、d依次成等差數(shù)列，則此雙曲線的離心率的取值范圍是（　　）

• A．[2+

  3

  ，+∞）
• B．（1，

  3

  )
• C．（1，2+

  3

  ]
• D．[2，2+

  3

  ]

Answer 1

分析：根據(jù)雙曲線的定義，結(jié)合等差數(shù)列的含義，得到|PF₂|-|PF₁|=d-|PF₂|=-2a，再用圓錐曲線的統(tǒng)一定義，得到

|PF2|

d

=e，因此d-|PF₂|=d（1-e）=-2a，得到d=

2a

e-1

，最后根據(jù)雙曲線右支上一點(diǎn)到右準(zhǔn)線的距離的取值范圍，得d≥a-

a2

c

，建立關(guān)于a、c和e的不等式，解之即得此雙曲線的離心率的取值范圍．

解答：解：∵|PF₁|、|PF₂|、d依次成等差數(shù)列，
∴|PF₂|-|PF₁|=d-|PF₂|，
∵P為雙曲線

x2

a2

-

y2

b2

=1右支上一點(diǎn)，（a＞0，b＞0）
∴|PF₂|-|PF₁|=-2a=d-|PF₂|，
設(shè)雙曲線的離心率是e，根據(jù)圓錐曲線的統(tǒng)一定義，
得到

|PF2|

d

=e，所以d-|PF₂|=d（1-e）=-2a
∴根據(jù)雙曲線右支上一點(diǎn)到右準(zhǔn)線的距離的取值范圍，得：d=

2a

e-1

≥a-

a2

c

，
上式的兩邊都除以a，得：

2

e-1

≥1-

1

e

，解此不等式得：2-

3

≤e≤2+

3

又∵雙曲線的離心率e＞1，
∴e∈(1，2+

3

]
故選C

點(diǎn)評：本題以等差數(shù)列為載體，求雙曲線的離心率，著重考查了雙曲線的簡單性質(zhì)和等差數(shù)列的概念等知識點(diǎn)，屬于中檔題．