已知橢圓C：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）的離心率為
1
2
，點(diǎn)F1，F(xiàn)2分別是橢圓C的左，右焦點(diǎn)，以原點(diǎn)為圓心，橢圓C的短半軸為半徑的圓與直線x-y+
6
=0相切．
（1）求橢圓C的方程；
（2）若過點(diǎn)F2的直線l與橢圓C相交于M，N兩點(diǎn)，求△F1MN的內(nèi)切圓面積的最大值和此時(shí)直線l的方程．
考點(diǎn)：直線與圓錐曲線的綜合問題
專題：綜合題,圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程
分析：（1）利用橢圓C：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）的離心率為
1
2
，可得e=
c
a
=
1
2
，橢圓C的短半軸為半徑的圓與直線x-y+
6
=0相切，求得a，b的值，則橢圓方程可求；
（2）設(shè)出直線l的方程x=my+1，和橢圓方程聯(lián)立，得到當(dāng)S△F1MN最大時(shí)，r也最大，△MF1N的內(nèi)切圓面積也最大，利用根與系數(shù)關(guān)系把△MF1N的面積轉(zhuǎn)化為含有m的代數(shù)式，利用基本不等式求得最值并得到直線l的方程．
解答： 解：（1）∵橢圓C：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）的離心率為
1
2
，∴e=
c
a
=
1
2
，
∵橢圓C的短半軸為半徑的圓與直線x-y+
6
=0相切．
∴b=
6
2
=
3
，
∴a=2，
∴橢圓C的方程為
x2
4
+
y2
3
=1；
（2）設(shè)直線l的方程為：x=my+1，代入橢圓方程可得（3m2+4）y2+6my-9=0．
△=（6m）2+36（3m2+4）=144m2+144＞0．
設(shè)M（x1，y1），N（x2，y2），
∴y1+y2=-
6m
3m2+4
，y1y2=-
9
3m2+4
，
∴S△F1MN=
1
2
|F1F2||y1-y2|=
12
m2+1
3m2+4
=
12
3
m2+1
+
1
m2+1
≤3（m=0時(shí)取等號(hào)），
△MF1N的內(nèi)切圓半徑為r，則S△F1MN=
1
2
（|MN|+|F1M|+|F1N|）r=4r，
∴rmax=
3
4
，
這時(shí)△MF1N的內(nèi)切圓面積的最大值為
9
16
π，直線l的方程為x=1．
點(diǎn)評(píng)：本題考查了橢圓方程的求法，考查了直線與圓錐曲線的關(guān)系，直線與曲線聯(lián)立，根據(jù)方程的根與系數(shù)的關(guān)系解題，是處理這類問題的最為常用的方法，但圓錐曲線的特點(diǎn)是計(jì)算量比較大，要求考試具備較強(qiáng)的運(yùn)算推理的能力，是壓軸題．
練習(xí)冊系列答案
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設(shè)函數(shù)f（x）=（x-1）2+blnx，其中b為常數(shù)．
（1）檔b＞
1
2
時(shí)，判斷函數(shù)f（x）在定義域上的單調(diào)性；
（2）當(dāng)b＜
1
2
時(shí)，求函數(shù)f（x）的極值點(diǎn)．

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延長圖O的兩弦AB，CD交于圓外一點(diǎn)E，過E點(diǎn)作DA的平行線交CB的廷長線于點(diǎn)F，自F點(diǎn)作圖0的切線FG．求證FG=FE．

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如圖，橢圓E：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）的左焦點(diǎn)為F1，右焦點(diǎn)為F2，離心率為
3
2
，過F1的直線交橢圓于A，B兩點(diǎn)，△ABF2的周長為8．
（1）求橢圓E的方程；
（2）設(shè)動(dòng)直線l：y=kx+m與橢圓E有且只有一個(gè)公共點(diǎn)P，且與橢圓E的右準(zhǔn)線交于點(diǎn)Q，問在x軸上是否存在定點(diǎn)M，使得以PQ為直徑的圓恒過點(diǎn)M？若存在，求出M的坐標(biāo)，若不存在，說明理由．

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已知二次函數(shù)y=f（x）的圖象與函數(shù)y=x2-1的圖象關(guān)于點(diǎn)P（1，0）成中心對(duì)稱，
（1）f（x）的解析式；
（2）是否存在實(shí)數(shù)m、n，滿足f（x）定義域?yàn)閇m，n]時(shí)，值域?yàn)閇m，n]，若存在，求m、n的值；若不存在，說明理由．

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已知∠AOB在平面α內(nèi)，OC是α的斜線，OB為OC在平面α內(nèi)的射影，若∠COA=θ，∠COB=θ1，∠BOA=θ2，求證：cosθ=cosθ1•cosθ2．

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已知函數(shù)f（x）=
ax
x2-1
的定義域?yàn)閇-
1
2
，
1
2
]，（a≠0）
（1）判斷f（x）的奇偶性．
（2）求f（x）的最大值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

考察下列四個(gè)命題，在A處都缺少同一個(gè)條件，補(bǔ)上這個(gè)條件使其構(gòu)成真命題（其中l(wèi)，m為不同的直線，α、β為不重合的平面），則此條件為
 
．
l∥m
m?α
A
⇒l∥α；
l∥m
m∥α
A
⇒l∥α；
l⊥β
α⊥β
A
⇒l∥α；
m⊥α
m⊥l
A
⇒l∥α．

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過點(diǎn)（-3，4）的圓x2+y2=25的切線方程
 
．（用一般式表示）

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