Question

已知sin（A+）=，A∈（0，）．
（Ⅰ）求cosA的值；
（Ⅱ）求函數(shù)f（x）=cos2x+5cosAcosx+1的值域．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）cosA=cos（（A+）-），根據(jù)余弦函數(shù)差的公式代入求值．
（Ⅱ）將f（x）化簡，f（x）=cos2x+5cosAcosx+1=2cos²x+4cosx=2（cosx+1）²-2，x∈R．根據(jù)cosx的范圍求出f（x）的最大最小值，確定值域．
解答：解：（Ⅰ）因為A∈（0，）．
且sin（A+）=，
所以，
cos（A+）=．
因為cosA=cos（（A+）-）
=cos（A+）cos+sin（A）sin
=
所以 cosA=．                             
（Ⅱ）因為f（x）=cos2x+5cosAcosx+1
=2cos²x+4cosx
=2（cosx+1）²-2，x∈R．
因為cosx∈[-1，1]，
所以，當(dāng)cosx=1時，f（x）取最大值6；
當(dāng)cosx=-1時，f（x）取最小值-2．
所以函數(shù)f（x）的值域為[-2，6]．
點評：本題考查了三角函數(shù)的化簡求最值，以及余弦函數(shù)差的公式，還考查了二次函數(shù)的性質(zhì)，綜合性比較強(qiáng)．