Question

如圖，△ABC是以∠ABC為直角三角形，SA⊥平面ABCD，SA=BC=2，AB=4．M、N、D分別是SC、AB、BC的中點(diǎn)．
（1）求證：MN⊥AB；
（2）（文科）求二面角S-ND-A的余弦值；
（3）（理科）求點(diǎn)A到平面SND的距離．

Answer 1

【答案】分析：（1）取AC的中點(diǎn)E，連接ME，NE，根據(jù)SA⊥平面ABCD，根據(jù)線面垂直的第二判定定理可得ME⊥平面ABC，則NE為MN在平面ABC內(nèi)的射影，由NE⊥AB，結(jié)合由三垂線定理可得MN⊥AB；
（2）過(guò)A作AF⊥DN與DN的延長(zhǎng)線相交于點(diǎn)F，連接SF，由三垂線定理知，∠SFA即為二面角S-ND-A的平面角，解三角形，即可得到二面角S-ND-A的余弦值；
（3）過(guò)點(diǎn)A作AH⊥SF于H，結(jié)合（2）的結(jié)論，易得AH的長(zhǎng)即為點(diǎn)A到平面SND的距離，解Rt△AHF，即可求出點(diǎn)A到平面SND的距離．
解答：證明：（1）取AC的中點(diǎn)E，連接ME，NE，則ME∥SA
又∵SA⊥平面ABC，
∴ME⊥平面ABC
∴NE為MN在平面ABC內(nèi)的射影
又∵N，E分別為AB，AC的中點(diǎn)
∴NE∥BC
∴NE⊥AB
由三垂線定理知MN⊥AB
（2）過(guò)A作AF⊥DN與DN的延長(zhǎng)線相交于點(diǎn)F，連接SF
由三垂線定理知，∠SFA即為二面角S-ND-A的平面角
在Rt△DBN中，tan∠DNB==
∴sin∠DNB=
在Rt△AFN中，NF=AN•sin∠DNB=
在Rt△SAF中，tan∠SFA==
∴cos∠SFA=
即二面角S-ND-A的余弦值為
（3）過(guò)點(diǎn)A作AH⊥SF于H
由（2）知平面SAF⊥平面SND
∴AH⊥平面SND
∴AH的長(zhǎng)即為點(diǎn)A到平面SND的距離
在Rt△AHF中，AH=AF•sin∠SAF=•=
故點(diǎn)A到平面SND的距離為
點(diǎn)評(píng)：本題考查的知識(shí)點(diǎn)是二面角的平面角及求法，直線與直線垂直的判定，點(diǎn)到平面的距離，（1），（2）的關(guān)鍵是熟練掌握三垂直定理，而（3）的關(guān)鍵是根據(jù)（2）的結(jié)合得到AH的長(zhǎng)即為點(diǎn)A到平面SND的距離．