Question

已知m＞0，p：（x+2）（x-3）≤0，q：1-m≤x≤1+m．
（I）若￢q是￢p的必要條件，求實數m的取值范圍；
（II）若m=7，“p或q”為真命題，“p且q”為假命題，求實數x的取值范圍．

Answer 1

考點：必要條件、充分條件與充要條件的判斷,命題的真假判斷與應用

專題：計算題

分析：（I）m＞0，p：（x+2）（x-3）≤0，q：1-m≤x≤1+m，分別求出命題p和q，根據￢q是￢p的必要條件，可得q⇒p，從而求出m的范圍；
（II）m=7，代入命題q，求出m的范圍，“p或q”為真命題，“p且q”為假命題，可知p與q一真一假，分類討論進行求解；

解答： 解：（I）m＞0，p：（x+2）（x-3）≤0，q：1-m≤x≤1+m，
∴p：-2≤x≤3，q：1-m≤x≤1+m，
∵￢q是￢p的必要條件，q⇒p，
∴

1+m≤3 1-m≥-2

解得m≤2，
當m=2時，q：-1≤x≤3，滿足題意；
綜上：0＜m≤2；
（II）若m=7，可得q：-6≤x≤8，
∵“p或q”為真命題，“p且q”為假命題，
∴p與q有一個為真，一個為假，∵p：-2≤x≤3，
若p真q假可得，x為空集；
若p假q真可得，-6≤x＜-2或3＜x≤8；

點評：此題主要考查命題真假的判斷，以及充分必要條件的定義，解題過程中用到了分類討論的思想，是一道基礎題；