Question

7．已知中心在坐標(biāo)原點的橢圓E的長軸的一個端點是拋物線y²=4$\sqrt{5}$x的焦點，且橢圓E的離心率是$\frac{\sqrt{5}}{5}$
（1）求橢圓E的方程；
（2）過點C（-1，0）的動直線與橢圓E相交于A，B兩點．若線段AB的中點的橫坐標(biāo)是-$\frac{1}{2}$，求直線AB的方程．

Answer 1

分析 （1）求得拋物線的焦點，可得橢圓的a，由離心率公式可得c，再由a，b，c的關(guān)系，可得b，即可得到橢圓方程；
（2）設(shè)直線AB的方程為y=k（x+1），代入橢圓方程，運用韋達定理和中點坐標(biāo)公式，解方程可得斜率，進而得到直線方程．

解答 解：（1）拋物線y²=4$\sqrt{5}$x的焦點為（$\sqrt{5}$，0），
由題知橢圓E的焦點在x軸上，且a=$\sqrt{5}$，
又c=ea=$\frac{\sqrt{5}}{5}$×$\sqrt{5}$=1，
故b=$\sqrt{{a}^{2}-{c}^{2}}$═$\sqrt{5-1}$=2，
故橢圓E的方程為$\frac{{x}^{2}}{5}$+$\frac{{y}^{2}}{4}$=1；
（2）依題意，直線AB的斜率存在，設(shè)直線AB的方程為y=k（x+1），
將其代入$\frac{{x}^{2}}{5}$+$\frac{{y}^{2}}{4}$=1，消去y，整理得
（4+5k²）x²+10k²x+5k²-20=0，
設(shè)A，B兩點坐標(biāo)分別為（x₁，y₁），（x₂，y₂）．
則△=80k²+80＞0，故x₁+x₂=-$\frac{10{k}^{2}}{4+5{k}^{2}}$，
由線段AB中點的橫坐標(biāo)是-$\frac{1}{2}$，得$\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{2}$=-$\frac{5{k}^{2}}{4+5{k}^{2}}$=-$\frac{1}{2}$，
解得k=±$\frac{2}{\sqrt{5}}$，成立．
所以直線AB的方程為2x-$\sqrt{5}$y+2=0或2x+$\sqrt{5}$y+2=0．

點評 本題考查橢圓的方程和性質(zhì)，考查直線和橢圓方程聯(lián)立，運用韋達定理和中點坐標(biāo)公式，考查運算能力，屬于中檔題．