Question

設函數(shù)f(x)=ax+2，g(x)=a²x²-lnx+2，其中a∈R，x＞0，
(Ⅰ)若a=2，求曲線y=g(x)在點(1，g(1))處的切線方程；
(Ⅱ)是否存在負數(shù)a，使f(x)≤g(x)對一切正數(shù)x都成立？若存在，求出a的取值范圍；若不存在，請說明理由。

Answer 1

解：(Ⅰ)由題意可知，當a=2時，，則，
曲線y=g(x)在點(1，g(1))處的切線斜率k=g′(1)=7，
又F(1)=6，
曲線y=g(x)在點(l，g(1))處的切線的方程為y-6=7（x-1）， 即y=7x-1．
(Ⅱ)設函數(shù)h(x)=f(x)-g(x)=ax+lnx-a²x²(x＞0)，
假設存在負數(shù)a，使得f(x)≤g(x)對一切正數(shù)x都成立．
即當x＞0時，h(x)的最大值小于等于零，
，
令，可得（舍去），
當時，單增；
當時，單減，
所以，h(x)在處有極大值，也是最大值，
∴，解得：，
所以，負數(shù)a存在，它的取值范圍是。