Question

【題目】已知函數(shù)g（x）=ax2﹣2ax﹣1+b（a＞0）在區(qū)間[2，3]上有最大值4和最小值1．設(shè)f（x）= ．
（1）求a，b的值；
（2）若不等式f（2x）﹣k2x≥0在x∈[﹣1，1]上有解，求實(shí)數(shù)k的取值范圍．

Answer 1

【答案】
（1）解：g（x）的對稱軸為在直線x=1，開口向上，

∴g（x）在區(qū)間[2，3]上是增函數(shù)，

∴ ，解得

（2）解：由（1）可得f（x）=x+ ﹣2，

∴f（2x）=2x+ ﹣2，

∵f（2x）﹣k2x≥0，即 ，

∴ ，

令 =t，則k≤t2﹣2t+1，

∵x∈[﹣1，1]，∴t∈[ ，2]，記h（t）=t2﹣2t+1=（t﹣1）2，

則h（t）在[ ，2]上先減后增，

∵h(yuǎn)（ ）= ，h（2）=1，

∴h（t）max=h（2）=1，

∴k≤1

【解析】（1）根據(jù)g（x）的單調(diào)性和最值列方程組解出a，b的值；（2）分離參數(shù)可得k≤（ ）2﹣ +1，利用換元法求出右側(cè)函數(shù)的最大值即可得出k的范圍．
【考點(diǎn)精析】本題主要考查了函數(shù)的最值及其幾何意義的相關(guān)知識(shí)點(diǎn)，需要掌握利用二次函數(shù)的性質(zhì)（配方法）求函數(shù)的最大（�。┲�；利用圖象求函數(shù)的最大（小）值；利用函數(shù)單調(diào)性的判斷函數(shù)的最大（小）值才能正確解答此題．